2012年北京昌平高三数学一模答案.doc

2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．（题1）
D；
，，故，因此
2．（题2）
A；
，则，从而
3．（题3）
B；
．
4．（题4）
B；
在上单调增，，，故零点所在区间．
5．（题5）
B；
由，可得，∴．
6．（题6）
C；
由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．
7．（题7）
B；
设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得．
8．（题8）
D；
由题设，于是定积分．

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．
；
．
10．
6；
几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为．

11．

解析：如图，弦切角，于是，从而．

12．（题12）
；
曲线：，点到的距离为，因此；
，即．
13．（题13）
；
，且
，
因此，当且仅当，即时等号成立．
14．（题14）
有下列命题：
①若存在导函数，则；
②若函数，则；
③若函数，则；
④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是．
③；
，①错误；
，则，②错；
，③正确；
，，只需即可，是的充分不必要条件．

3

三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（题15）
已知函数
⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；
⑵设函数，求的值域．
⑴
，
∴最小正周期．
由，得
函数图象的对称轴方程为
⑵
当时，取得最小值；
当时，取得最大值2，
所以的值域为．

16．（题16）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点．
⑴求证：；
⑵求二面角的余弦值；
⑶若四棱锥的体积为，求的长．

⑴∵平面，平面
∴
∵
∴
∴平面
又是中点，
∴平面
∴．
⑵建立直角坐标系，设
则
∴
由⑴知，平面，
∴是平面的法向量．
设平面的法向量为，
则且，
∴．
∴，
二面角的余弦值为．
⑶连结，设，
，∴．
∵是直角三角形，
∴．

17．（题17）
某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．
统计信息

汽车行驶
路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路21[4⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；
⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？
（注：毛利润销售收入运费）
⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元
堵车时公司获得的毛利润万元
∴汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为

∴万元
⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为万元
不堵车时获得的毛利润万元
堵车时的毛利润万元
∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为[

∴万元
∴
∴选择公路2可能获利更多．

18．（题18）
已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，
①求在区间上的最大值；
②求函数的单调区间．
⑴．
∵是极值点，
∴，即．
∴或2．
⑵∵在上．∴
∵在上，∴
又，∴
∴，解得
∴
①由可知和是的极值点．
∵
∴在区间上的最大值为8．
②

令，得
当时，，此时在单调递减
当时：
0+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增．
当时：

00+0极小值极大值
此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；
时，在单调递减，在单调递增；
时，在单调递减，在单调递增．

19．（题19）
已知椭圆的离心率为．
⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；
⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．
i)当，求的值；
ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．
⑴∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，解得．
椭圆的方程为．
⑵
i)∵，∴，椭圆的方程可化为
…………①
易知右焦点，据题意有：………②
由①，②有：…………③
设，

∴

ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．
设，
∵，∴
又点在椭圆上，∴……………④
由③有：
则
……