2015高考数学总复习初等函数、导数及其应用3.doc

京翰高考网：http://gaokao.zgjhjy.com/

京翰高考网：http://gaokao.zgjhjy.com/

第3课时函数的奇偶性与周期性
京翰高考网试题（gaokao.zgjhjy.com）

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

[对应学生用书P15]

【梳理自测】
一、函数的奇偶性
1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是()
A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数
2．f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于()
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
3．下列函数中，所有奇函数的序号是________，偶函数序号是________．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝eq\f(x2＋1,x)；④f(x)＝x3＋1.
答案：1.B2.C3.②③①
◆以上题目主要考查了以下内容：
奇偶性定义图象特点偶
函
数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇
函
数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、函数的周期性
已知f(x)在R上满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x2，则f(2014)＝()
A．－8B．8
C．－9D．9
答案：B
◆此题主要考查了以下内容：
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【指点迷津】
1．一条规律
奇、偶函数的定义域关于原点对称．
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．两个性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．三条结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

[对应学生用书P15]

考向一判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；
(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；
(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).
【审题视点】首先确定函数的定义域，关于原点对称，再看是否满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．
【典例精讲】(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))
得x＝－eq\r(3)或x＝eq\r(3).
∴函数f(x)的定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}．
∵对任意的x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，－x∈{－eq\r(3)，eq\r(3)}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)要使f(x)有意义，则eq\f(1－x,1＋x)≥0，
解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))
∴－2≤x≤2且x≠0.
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq\f(\r(4－x2),x)，
f(－x)＝eq\f(\r(4－（－x）2),－x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)，
∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
【类题通法】判断函数奇偶性的常用方法及思路
(1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：用