ARCH模型专题.ppt

考察严平稳随机序列{yt},且Eyt<.记其均值Eyt=,
协方差函数k=E{(yt-)(yt+k-)}.
其条件期望(或条件均值):
E(ytyt-1,yt-2,…)(yt-1,yt-2,…)(1.1)
依条件期望的性质有
E(yt-1,yt-2,…)=E{E(ytyt-1,yt-2,…)}=Eyt=.(1.2)
记误差(或残差):
etyt-(yt-1,yt-2,…).(1.3)
随机序列的条件均值
E(etyt-1,yt-2,…)=E{yt-(yt-1,yt-2,…)yt-1,yt-2,…}
=E(ytyt-1,yt-2,…)-E{(yt-1,yt-2,…)yt-1,yt-2,…}
=(yt-1,yt-2,…)-(yt-1,yt-2,…)=0.(1.4)

随机序列的条件方差
Var(etyt-1,yt-2,…)=E{[et-E(etyt-1,yt-2,…1)]2yt-1,yt-2,…}
=E{et2yt-1,yt-2,…}S2(yt-1,yt-2,…).(1.5)
此处S2(yt-1,yt-2,…)为条件方差函数.

注意,et的条件均值是零,条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,…),它不一定是常数。

自回归函数

依(0.3)式,平稳随机序列{yt}总有如下表达式:
yt=(yt-1,yt-2,…)+et,(1.6)

其中(yt-1,yt-2,…)被称为自回归函数,不一定是线性的.
{et}为鞅差序列（因为对它的求和是离散的鞅序列.由于{yt}是
严平稳随机序列,且Eyt<,上述推演是严格的,从而{et}是严平
稳的鞅差序列.）

条件异方差自回归模型
将et标准化,即令
tet/S(yt-1,yt-2,…).
则有
E(tyt-1,yt-2,…)=E[et/S(yt-1,yt-2,…)yt-1,yt-2,…]
={1/S(yt-1,yt-2,…)}E[etyt-1,yt-2,…]=0.（1.7）

E(t2yt-1,yt-2,…)=E[et2/S2(yt-1,yt-2,…)yt-1,yt-2,…]
={1/S2(yt-1,yt-2,…)}E[et2yt-1,yt-2,…]
={S2(yt-1,yt-2,…)}/{S2(yt-1,yt-2,…)}=1.(1.8)
同样，{t}也是平稳鞅差序列。
于是0.6式可以写成
yt=(yt-1,yt-2,…)+S(yt-1,yt-2,…)t（1.9）
此式可称为条件异方差自回归模型
所谓条件异方差就是指:条件方差S2(yt-1,yt-2,…)不为常数.在条件异方差模型问世以前,时间序列分析主要讨论自回归结构,或者说,主要讨论(yt-1,yt-2,…)的有关内容.
当条件异方差模型问世后,在时间序列分析中,特别是建模分析中,就包含了两个内容,一个与(yt-1,yt-2,…)有关;另一个与S(yt-1,yt-2,…)有关.
如何统计分析它们,是摆在我们面前的主要问题.
考虑如下的模型
yt=et,(1.10)
它的标准化的模型(0.12)为
yt=S(yt-1,yt-2,…)t.(1.11)
这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型.接着发现相关性分析和谱分析不能对(1.1)式的序列作出更深刻的分析.为了进一步获得它的深入的结构特征,必须引入新的概念和新的方法.

(ARCH---AutoregressiveConditionalHeteroscedasticity)
Engle(1982)引入条件方差的概念来分析方差变化的原因，首先提出并使用了如下的模型:
yt=S(yt-1,yt-2,…)tht1/2t,(2.1)
ht=0+1yt-12+2yt-22+…+pyt-p2,(2.2)
0>0,i0,i=1,2,…,p.
其中{t}为i.i.d.的序列,tN(0,1),且t与{yt-1,yt-2,…}独
立,为了简化记号,记ht=S2(yt-1,yt-2,…).
此模型被称为自回归条件异方差模型,简记ARCH(p),其
中p表示模型的阶数.
其一,限定{t}为i.i.d.序列，这是很强的限制,这是由于现有理论的基楚所限.

其二,限定条件方差有2.2式的简单形式,即ht=S2(yt-1,yt-2,…)=0+1yt-12+2yt-22+…+pyt-p2,是为了统计分析方便.

其三,限定t服从正态分布,是为了求极大似然估计方便.限制tN(0,1),而不用tN(0,2),是因为{t}满足标准化的1.8模型式.

其四,限制0>0,i0,i=1,2,…,p,是为了保证条件方差函数ht=S2(yt