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专题一：ARCH模型的有关专门问题

一、ARCH模型的估计检验问题

(一）ARCH模型的估计

估计ARCH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型

'
yt=Xtx+ut(1.1.1)

ut=htet(1.1.2)

22
ht=a0+a1ut-1+L+aqut-q

et~iidN(0,1)

假设前q组观测值已知，现利用t=1，2，…，T时的观测值进行估计。记

Wt=[yt,yt-1,L,y1,y0,L,y-q+1,Xt¢,Xt¢-1,L,X1¢,X0¢,L,X-¢q+1]

则

ytWt-1~N(Xt¢x,ht)

从而yt的条件密度函数为

2
1ì-(yt-Xt¢x)ü
f(ytXt,Wt-1)=expíý
2phtî2htþ
其中

22
ht=a0+a1ut-1+L+aqut-q

22
=a0+a1(yt-1-Xt¢-1x)+L+aq(yt-q-Xt¢-qx)

¢22¢
记d=(a0,a1,L,aq),zt(x)=[1,(yt-1-Xt¢-1x),L,(yt-q-Xt¢-qx)]，则ht可表
示为
¢
ht=[zt(x)]d

需估计的参数向量为x和d，将x和d列入一列，形成模型(1.1.1)的参数列向

量：

éxù
q=êú
ëdû

1

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对应于观测样本，样本对数似然函数为：

T
L(q)=ålnf(ytXt,Wt-1;q)
t=1

TT2
T11(yt-Xt¢x)
=-ln(2p)-åln(ht)-å
22t=12t=1ht

参数向量q的极大似然估计是使得对数似然函数L(q)达到极大的向量qˆ。求

L(q)关于q的一阶微分，并记

TT
¶L(q)¶lnf(ytXt,Wt-1;q)

=å=åst(q)
¶qt=1¶qt=1

其中

¶lnf(yX,W;q)
s(q)=ttt-1
t¶q

22
1¶ln(ht)1ì1¶(yt-Xt¢x)(yt-Xt¢x)¶htü

=--í-2ý
2¶q2îht¶qht¶qþ
可以推出，

2
¶(yt-Xt¢x)é-2Xtutù
=êú
¶që0û

éqù
¶h-2auX
t=êåjt-jt-jú
¶qêj=1ú
ëêzt(x)ûú
所以，

¶lnf(yX,W;q)
s(q)=ttt-1
t¶q

éqù
(u2-h)-2auXé(Xu)/hù
=ttêåjt-jt-jú+ttt
2êj=1úêú
2htë0û
ëêzt(x)ûú
令

¶L(q)T
=0
=åst(q)
¶qt=1

2

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解此方程，可以得到q的极大似然估计qˆ。此方程可由数值计算方法求解，在实

际应用中，可借助现成软件进行计算。
前面我们讨论了正态ARCH模型的估计问题。在实践中，金融时间序列的无
条件分布往往比正态分布具有更厚的尾部。为了更精确地描述尾部特征，我们可
以假定回归模型的扰动项服从t分布，t分布的密度函数为：

ék+1ùk+1
G1-
êú-é2ù2
ë2û2ut
f(et)=ctê1+ú
kck
kpG()ëtû
2

其中，G(×)为G函数，ct为比例参数，k是t分布的自由度，为一正数。当k大

于2时，ut的方差为：
k
Var(u)=c
ttk-2

为了反映ARCH效应，令比例参数ct为：

k-2
c=h×
ttk

这样，ut的条件方差为ht，密度函数可改写为：

ék+1ùk+1
G-
êú22
ë2ûéutù
f(et)=ê1+ú
kh(k-2)
pG()(k-2)hëtû
2t
其中

22
ht=a0+a1ut-1+L+aqut-q

22
=a0+a1(yt-1-Xt¢-1x)+L+aq(yt-q-Xt¢-qx)

为了估计模型参数，类似于正态情形，
样本对数似然函数为：

T
L(q)=ålnf(ytXt,Wt-1;q)
t=1
ìék+1ùü
G
ïêúïTT2
ïë2ûï1k+1é(yt-Xt¢x)ù
=Tílný-ln(ht)-lnê1+ú
k2å2åh(k-2)
ïpG()(k-2)ït=1t=1ëtû
îï2þï

需要估计的参数为k、x和d，他们的极大似然估计可以类似于前面的方法得

到。

3

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(二）ARCH模型的检验

检验ARCH效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此，我们先介绍拉格朗
日乘数检验法的基本思想，然后介绍检验ARCH效应的具体方法。