平面向量的基本定理及坐标运算.ppt

第二节平面向量的基本定理及坐标运算1.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于()
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
解析：a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，故选A.
答案：A2．e1，e2是平面内一组基底，那么()
A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

解析：对于A，∵e1，e2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B，空间向量a应改为与e1，e2共面的向量才可以；C中，λ1e1＋λ2e2一定与e1，e2共面；D中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是唯一一对．
答案：A3．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴向量a＋b平行于y轴．
答案：C
4．若α，β是一组基底，向量γ＝x·a＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)答案：D答案：－3

如图，A、B分别是射线OM、ON上的两点，给出下列向量：答案：C【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，
c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； 设a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.
答案：2
1.对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量的基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
(2)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，平面向量的基底可以有无穷多组．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．
(3)用平面向量的基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(e1与e2不共线)的形式，是向量线性运算知识的延伸．
2．向量的表示有两种：一种是用有向线段来表示，通常称之为几何法；一种是用坐标来表示，可以称之为代数法．相应的向量运算也就分为图形上的几何运算和坐标下的代数运算，两种运算恰好说明了向量是数形结合的载体．向量的坐标运算把点与数联系起来，进而可以把曲线与方程联系起来，就可以用方程思想来研究几何问题，使一些复杂几何问题得以通过量化运算来解决.
1.(2010·陕西高考)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
2．(2009·广东高考)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)，
∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，y＝1.
又|a＋b|＝1，
∴(x＋2)2＝1.∴x＝－1或x＝－3.
答案：(－1,1)或(－3,1)