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凸函数的性质及其应用
杨贞标
（2008051136）
（黔南民族师范学院数学系,贵州都匀558000）
摘要:凸函数是重要的函数,是证明不等式的重要工具,是运筹学的理论基础之一.本文给出了凸函数的多种定义,几何意义,性质及其应用.
关键词:凸函数;Jensen型不等式;凸规划

ThePropertiesandApplicationsofConvexFunction
YANGZhen-biao
(2008051136)
(DepartmenofMathematics,QiannanNormalCollegeforNationalities,Duyun558000,Guizhou)
Abstract:ConvexFunctionisanimportantfunction,whichisanimportanttoolofprovinginequally,Itisalsooneofthebasictheoriestotheoperationalresearch.Inthispaperitincludessomedifferentdefinitions,thegeometricmeaning,propertiesandtheapplications.
Keywords:ConvexFunction;JensenTypeInequality;ConvexProgramming

凸函数是一类非常重要的函数,在证明不等式和非线性规划中有着广泛的应用.本文中首先给出凸函数的多种定义,凸函数的几何意义及其性质,并将凸函数推广到Jensen型不等式和n维欧式空间上.
1凸函数的定义
定义1如果函数在上连续,对上任意不同的两点,有

则称函数是上的凸函数.
定义2设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有

则称函数是上的凸函数.
定义3如果函数在上连续,任意且有

则称函数是上的凸函数.
定义4如果函数在上连续,在上可导,对有

则称函数是上的凸函数.
定义5如果函数在上连续,在上二次可导且,则称函数是上的凸函数.
定义6设为定义在n维欧氏空间中某个凸集上的函数.若对任何实数以及中的任意两点和恒有

则称函数是定义在上是凸函数.
注:①若函数为凸函数,则为凹函数.
②将上述定义中的或改为>或<,则是严格凸函数的定义.
2凸函数的几何意义
设函数为凸函数,图如(图一)所示.
令则有

由定义2与定义3有

即
上式说明了凸函数的几何意义.弦的斜率小于弦的斜率,弦的斜率小于弦的斜率.
即.

(图一)
3凸函数的性质
性质1若函数为区间上的凸函数,则对于,有在上也是凸函数.
证明:因为是区间上的凸函数.
所以对于和有

对上式两端同时乘以得

所以在上是凸函数.
性质2若函数与均为区间上的凸函数,则函数在区间上也是凸函数.
证明:因为函数与在区间上均为凸函数.
所以取和有

对上述两式相加得

所以函数在区间上是凸函数.
性质3若函数是单调递增的凸函数,函数也是单调递增的凸函数,则复合函数也是凸函数.
证明:因为函数是单调递增的凸函数,函数也是单调递增的凸函数.
所以
所以
所以
所以函数是凸函数.
性质4若函数与在区间上是非负单调递增的凸函数,则函数在区间上也是凸函数.
证明:因为函数与在区间上是非负单调递增.
所以取且和有

又因为函数与在区间上是凸函数.
所以(1)
(2)
又因为.
将上述两式(1)与(2)相乘得

所以函数在区间上是凸函数.
4凸函数的应用
应用1证明不等式（一元凸函数），在定义2的基础上,将凸函数推广到Jensen不等式上.
定理1（Jensen不等式）若函数为区间上的凸函数,则对任意,,有
(3)
证明:(应用数学归纳法证明)
当n=2时,由定义2可知命题显然成立.
假设n=k时命题成立.
即对于任意及
都有
现设及.
令则.
由数学归纳法假设可推得

这就证明了对于任何正整数,凸函数总有不等式（3）成立.
例1证明不等式,其中均为正数.
证明:设.
由于的一阶导数和二阶导数为可见,在时为严格凸函数.
由Jensen不等式有

代入得

即
又由于
所以.
例2证明n个正数的倒数算术平均值不小于这n个正数的算术平均值得倒数.
证明:设
由于的一阶导数和二阶导数为:.
所以在上.
所以在上是凸函数.
在Jensen不等式中取,则得

代入函数得

即
所以命题得证.
通过上述例题可以看出,运用凸函数证明有关不等式,可以将证明过程复杂的问题转化为证明过程比较简单的问题,可以将证明难度比较大的问题转化为证明过程证明比较容易的问题.在运用凸函数证明有关不等式时关键是寻找合适的凸函数.
应用2凸规划（多元凸函数），由定义6可知,将凸函数推广到n维欧氏空间中,凸函数的性