CH3 集合的基本概念和运算.ppt

离散数学集合论简介第3章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念3.1集合的基本概念集合的符号表示集合的特点集合的表示方法集合的表示方法集合间的关系定义（相等关系）设A，B为集合，如果BA且AB，则A与B相等，记作A=B，
符号化表示为A=BABBA
如果A和B不相等，则记作A≠B
由以上定义可以知道，两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素
例如，
A={x|x是小于等于3的素数}
B={x|x|x=2∨x=3}
则A=B
空集:不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集可以符号化表示为:
={x|x≠x}
Ø={x|P(x)∧﹁P(x)}

空集是客观存在的，例如:
A={x|x∈R∧x2+1=0}
是方程x2+1=0的实数解集。因为该方程没有实数解，所以A=

集合的简单性质:
定理3.1空集是一切集合的子集。
证明:任给集合A，由子集定义有
⊆Ax(x∈x∈A)
右边的蕴涵式中，因前件x∈为假，所以整个蕴涵式对一切x为真。

推论空集是唯一的。
证明:假设存在空集1和2，由定理3.1，有1⊆2和2⊆1，根据集合相等的定义得1=2。

例3.1确定下列命题是否为真。
（1）⊆；
（2）∈；
（3）⊆{}；
（4）∈{}。
解:（1），（3），（4）为真，
（2）为假。

注意和{}的区别：
不含任何元素；
{}含唯一一个元素。
例3.2A={a,b,c},求A的全部子集。
解:
将A的子集从小到大分类：
0元子集，即空集，只有1个：
1元子集，即单元集或单集，有C31个：{a},{b},{c}
2元子集，有C32个：{a,b},{a,c},{b,c}
3元子集，有C33个：{a,b,c}

A的子集共有8个

一般来说，对于n元集A，它的m(0≤m≤n)元子集有Cnm个。所以不同的子集总数为:
Cn0+Cn1+…+Cnn=2n

定义（幂集）设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A)，或PA，或2A。符号化表示为:
P(A)={x|x⊆A}
若A有n个元素，则P(A)有2n个元素
例，设A={a,b,c}，则
P(A)={,{a},{b},{c}，{a,b},{a,c},{b,c},
{a,b,c}}

练习3.2集合的基本运算定义（并、交、相对补）设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A-B分别定义如下：
A∪B={x|x∈A∨x∈B}
A∩B={x|x∈A∧x∈B}
A－B={x|x∈A∧xB}
A∪B由A或B中的元素构成
A∩B由A和B中的公共元素构成
A－B由属于A但不属于B中的元素构成例:A={1，3，4}，B={2，3}，C={4}
则有
A∪B={1，2，3，4}=B∪A
A∩B={3}=B∩A
B∩C=
A—B={1，4}
B—A={2}
C—A=

当两个集合的交集是空集时，称它们是不相交的。
交运算和并运算的扩展
n个集合A1，A2，…，An的并集和交集定义如下:
A1∪A2∪…∪An={x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}
简记为:∪i=1nAi
A1∩A2∩…∩An={x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}
简记为:∩i=1nAi课堂练习集合的算律
幂等律A∪A=A
A∩A=A
结合律（A∪B)∪C=A∪（B∪C）
(A∩B)∩C=A∩（B∩C）
交换律A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
分配律A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
同一律A∪=A
A∩E=A
零律A∪E=E
A∩=
排中律A∪~A=E
矛盾律A∩~A=
吸收律A∪（A∩B）=A
A∩（A∪B）=A
双重否定律~（~A）=A

德.摩根律~A∪B）=~A∩~B
~（A∩B）=~A∪~B
~=E
~E=
A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）
A-（B∩C）=（A-B）∪（A-C）恒等式及集合相等的证明方法例:证明A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）
即证对x,x∈A-(B∪C)x∈(A-B)∩(A-C)
证：x∈A-(B∪C)
x∈A∧x∉B∪C
x∈A∧﹁(x∈B∪C)
x∈A∧﹁(x∈B∨x∈C)
x∈A∧(﹁x∈B∧﹁x∈C)
x∈A∧x∉B∧x∉C
(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C)
x∈A-B∧x∈A-C
x∈(A-B)∩(A-C)
∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

恒等式及集合相等的证明方法除以上所给的算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果
A∩B⊆A,A∩B⊆B
A⊆A∪B,B⊆A∪B
A-B⊆A
A∪B=BA⊆BA∩B=AA-B=
A-B=A∩~B
A-B=A-(A∩B)

文氏