2003年春季高考北京卷理科数学试题及答案.doc

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003年普通高等学校春季招生考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
正棱台、圆台的侧面积公式

其中、c分别表示上、下底面周长
l表示斜高或母线长
球体的体积公式

其中R表示球的半径
参考公式：
三角函数的积化和差公式

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若集合()
A． B． C． D．
2．若，则方程的根是()
A． B．－ C．2 D．－2
3．设复数()
A． B． C． D．－
4．函数的最大值是()
A． B． C． D．

5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是()

6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是()
A． B． C． D．
7．椭圆为参数）的焦点坐标为()
A．（0，0），（0，－8） B．（0，0），（－8，0）
C．（0，0），（0，8） D．（0，0），（8，0）
8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC
沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度
数为()
A．90° B．60° C．45° D．0°
9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()
A．42 B．30 C．20 D．12
10．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
11．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于()
A．8 B．2 C．－4 D．－8
12．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是()
A．95 B．91 C．88 D．75

2003年普通高等学校春季招生考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题号二三总分171819202122分数
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有
适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水
面高度恰好升高r，则
14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内
年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（）8815．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2
的值是
16．若存在常数，使得函数
的一个正
周期为
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）解不等式：

18．（本小题满分12分）
已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

19．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，
EF∩BD=G.
（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.

20．（本小题满分12分）
某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

21．（本小题满分13分）
如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆