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浅谈变式练习在教学中的应用

株洲长鸿实验学校数学组刘利文
摘要高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学
生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。
变式练习是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问
题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使
其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。通过变式练习有助于培
养探索精神和创新意识，让老师的数学教学与学生的数学学习都事半
功倍。
关键词数学教学；变式练习；应用举例；
高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数
学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。而人
们对知识的深刻理解，都具有一定的时空性、阶段性和渐进性，都需
要在一定的变化环境下反复理解，才能不断深入。变式练习是陈述性
知识转化为程序性知识点的关键环节。变式练习是对数学概念和问题
进行不同角度、不同情形的变式，凸显概念的本质和外延，突出问题
的结构特征，揭示知识的内在联系。变式练习就是指在其他教学条件
不变的情况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可
以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，掌握概念
的本质和问题的结构及解决策略。下面就本人的教学实例谈谈对数学
中的变式练习个人看法。
在数学学习中，教师通过变式练习，可以把一个看似孤立的问题
从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问
题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学
过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、
主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以
及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。
同时，通过变式练习，学生不再需要大量、重复地做同一样类型的题
目，从而实现真正的减负，提高了学习的效率，应用举例如下：
例1如在新授定理“”其中,（当且仅当x=y时取“＝”号）
的定理时，强调定理使用的条件是：一正二定三相等。通过如下课本
习题进行变式练习：
原题已知ｘ＞0，当x取什么值，有最小值?最小值是多少？
（高中《数学(人教版)》新教材必修（5）P100练习第1题））
变式1当ｘ∈Ｒ，函数有最小值吗?为什么?
变式2已知ｘ＞5，求的最小值；
变式3当ｘ＞3，函数的最小值为2吗?
评注：均值不等式是高中阶段的一个重点，但学生在使用时，很
容易忘记定理使用的条件“一正二定三相等”。因此在教学中由课后
习题出发，利用条件特殊化即将原题中一般条件，改为具有特定性的
条件，使题目具有特殊性。设计三个变式练习的解答，使学生加深了
对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为定
理的正确使用打下了较坚实的基础．
例2原题：画出函数y=f(x)的图象，并根据图象说出函数y=f(x)
单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。（高
中《数学(人教版)》新教材必修（1）习题1.3A组第1题）
变式1：画出函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以
及在各单调区间上函数是增函数是减函数。
评注：函数的图像、单调性是高中教学很重要的一部分内容，也
是学生较难掌握的。因此本题将课本习题中函数解析式特殊化，引导
学生挖掘条件,考察特定概念。这不仅考察了绝对值的概念,也考察了解
一元二次方程，这符合由一般到特殊的认识规律，学生容易接受。

例3、已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法较多，下面给出一种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则

由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

变式1：已知a、b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最
值。
（函数思想）由a+b=1得b=1－a，0≤a≤1

M=a4+b4=a4+（1－a）4=2a4－4a3+6a2－4a+1

从而，M/=8a3－12a2+12a－4=4（2a3－3a2+3a－1）

=4（2a－1）（a2－a+1）令M/=0，得a=

当0＜a＜时M/＜0，则M（a）单调递减；

当＜a＜1时M/＞0，则M（a）单调递增；
于是，M在a=处取极小值M（）=；而M（0）=M（1）=1
所以，≤M≤1
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变
量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元
函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决。同时
解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，如单调性的运
用、导数的运用等都可以求函数的最值。原题中利用函数知识，代入
法来解决，变试中利用导数可以求函数的最值，