小值计算压轴真题训练(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编.pdf

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编
专题09几何中最小值计算压轴真题训练

一．轴对称-最短路线问题
1．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC

的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为．

【答案】6
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E
交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，

∴tan∠ACB＝＝，

∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，

∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，

∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，

∴B′E＝＝＝6，

∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．

1
2．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线

段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．

【答案】3
【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝
1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，

∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，

由勾股定理得：HG'＝＝3，

即GE+CF的最小值为3．

解法二：∵AG＝AD＝1，

设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，

2
由勾股定理得：EG+CF＝+，

如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，

P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，

∴EP+PQ＝+，

当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，
即EG+CF的最小值是3．
故答案为：3．
3．（2022•鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，

且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上
方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD
＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）

A．24B．24C．12D．12

【答案】C
【解答】解：如图，

3
作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点
R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，
AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，
AB+CD最小，最小值为AT的长，

可得AK＝AE•sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，

∴AR＝2+6+4＝12，
∵AD＝24，

∴sin∠ADR＝＝，

∴∠ADR＝30°，
∵∠PFD9＝60°，
∴∠ADT＝90°，

∴AT＝＝＝12，

故答案为：C．
4．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，
AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，

则△PEF的周长最小值为．

【答案】5+
【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作
TH⊥AB于点H．

4
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADT＝90°，
∵∠AHT＝90°，
∴四边形AHTD是矩形，

∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，

∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，

∴FT＝＝＝，

∵DG平分∠ADC，DE＝DT，
∴E、T关于DG对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，

∵EF＝＝＝5，

∴△EFP的周长的最小值为5+，
故答案为：5+．
5．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD

上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，
则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．

【答案】+

【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．

5
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝5，
∵BC＝AD＝10，

∴AC＝＝＝5，

∵EF⊥AC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EFH+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠EFH＝∠BAC，
∴△EHF∽△CBA