微积分中值定理习题.doc

第三章中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用
§1 中值定理

证明：当时，。
二、证明方程只有一个正根。
三、设在上连续，在内可导，证明在内有一点，使得

四、证明：若函数在内满足关系式，且，则。
五、设函数在的某邻域内具有阶导数，且
，
试用柯西中值定理证明：
§2 洛必达法则

求下列极限
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
（5）=
（6），其中。
§3 泰勒公式

求函数的二阶麦克劳林公式。

求函数的阶麦克劳林公式。

、当时，求函数的三阶泰勒公式。

当时，求函数的阶泰勒公式。

§4 函数单调性的判定法

确定下列函数的单调区间：
（1）；
（2）
证明：当时，；
设在上，证明函数在上是单调增加的。

§5 函数的极值及其求法

求下列函数的极值：
（1）；
（2）；
（3）
二、试问为何值时，函数+在=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值。

讨论方程(其中)有几个实根？

§6 最大值、最小值问题

求函数在上的最大值与最小值。
二、设，求
（1）在上的最大值
（2）

三、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高之比是多少？
四、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗(图见P195的图3－19)，问留下的扇形的中心角取多大时，做成的漏斗的容积最大？

§7 曲线的凹凸与拐点

一、求曲线的拐点及凹凸区间。

二、试决定中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
三、利用函数图形的凹凸性证明不等式：.
四、设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，，而，试问是否为极值点？为什么？又是否为拐点？为什么？

§8 函数图形的描绘§9 曲率

一、描绘下列函数的图形：

二、对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。

证明曲线在点处的曲率半径为。
习题课

一、设在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且，证明存在一点，使。
二、设0<a<b，函数在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试利用柯西中值定理证明：存在一点，使。

三、设都是可导函数，且，证明：当时，。
四、证明不等式：当时，有。
五、设，求的极值。

六、设函数在上二次可微，且满足：(1)；(2)，
(3)，证明方程在内有唯一实根。