数字图像处理(冈萨雷斯)课件4-图像变换.pdf

数字图像处理（4）

任何问题？
傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换及其反变换

傅里叶变换的性质

快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换

为什么要在频率域研究图像增强

可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一
些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非
常普通

滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的
某些性质

可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间
域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导

一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在
空间域进行
傅里叶变换

一维连续傅里叶变换及反变换

单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义
为

F(u)f(x)ej2uxdx

其中，j1

给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)

f(x)F(u)ej2uxdu

傅里叶变换

二维连续傅里叶变换及反变换

二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定
义为

F(u,v)f(x,y)ej2uxvydxdy


给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到
f(x,y)


f(x,y)F(u,v)ej2uxvydudv

傅里叶变换

一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换

单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅
里叶变换F(u)定义为
1M1
F(u)fxej2ux/M
M
x0
u=0,1,2,…,M-1

给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
M1
f(x)Fuej2ux/M
u0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换

一维离散傅里叶变换及反变换
j
从欧拉公式ecosjsin

1M1
F(u)fxej(2ux)/M
Mx0

1M1
fxcos(2ux)/Mjsin(2ux)/M
Mx0
1M1
fxcos2ux/Mjsin2ux/M
Mx0
傅里叶变换

傅里叶变换的极坐标表示

FuFueju

幅度或频率谱为
1
22
FuRuIu2
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部

相角或相位谱为
Iu
uarctan
Ru
傅里叶变换

傅里叶变换的极坐标表示

功率谱为
222
PuFuRuIu

f(x)的离散表示

fxfx0xxx0,1,2,...,M1

F(u)的离散表示
FuFuuu0,1,2,...,M1
傅里叶变换

二维离散傅里叶变换及反变换

图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
1M1N1
F(u,v)fx,yej2ux/Mvy/N
MNx0y0
u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1

给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),

M1N1
f(x,y)Fu,vej2ux/Mvy/N
u0v0
x=0,1,2,…,M-1,y=0,1,2,…,N-1
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
傅里叶变换

二维DFT的极坐标表示

Fu,vFu,veju,v

幅度或频率谱为
1
22
Fu,vRu,vIu,v2
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部

相角或相位谱为
Iu,v
u,varctan
Ru,v
傅里叶变换

二维DFT的极坐标表示

功率谱为

222
Pu,vFu,vRu,vIu,v

F(u,v)的原点变换
fx,y1xyFuM/2,vN/2

用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频
率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心

u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换

F(0,0)表示

1M1N1
F0,0fx,y
MNx0y0

这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅
里叶变换等于图像的平均灰度级
傅里叶变换

如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是
对称的，即
Fu,vFu,v

傅里叶变换的频率谱是对称的

Fu,vFu,v
傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换及其反变换

傅里叶变换的性质

快速傅里叶变换（FF