例谈数列与函数的关系.doc

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例谈数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成是关于n的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n的一次函数（公差d≠０时），而其求和公式可以看成是关于n的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直观性来比较.因此，许多数列问题可以用函数的知识进行分析，加以解决.
1．等差数列的通项公式可以看成自变量为n的一次函数（公差d≠０时）
例1已知等差数列，其前n项和为，是否存在常数k，使得成立.
分析：将看成是n的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.
解：设存在常数k，使得成立，
令（p、q为常数），
则.①
又∵,，
代入①式变为，

由②，得或.
将p=0代入③、④不成立.
将kp=代入③，得，
代入④，得，即，
∴，从而得出．
∴存在常数k，使得成立.
评注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.
2．构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题
例２等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为（）.
（Ａ）30（B）170（C）210（D）260
分析：运用等差数列求和公式，先对进行变形，，则可以看成是关于n的一次函数，再利用点共线的性质求解.
解：由，可得，
由此可知数列成等差数列，
∴三点共线.
∴，
∴.
评注：①可以看成是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解的.运用该法还可以推得在等差数列中若，则．②等差数列的通项公式也可以看成是关于n的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若，则.
3．等差数列的前n项和可看成是关于n的二次函数
例3已知等差数列，首项，且，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？
分析：等差数列前n项和为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值.
解：设等差数列公差为d，前n项和为，
∵，即，
∴，
∴当n=6或n=7时，为最大.
评注：关于等差数列前n项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定n取何值时，最大（最小）.
4．利用函数单调性知识解（证）数列中的单调性问题
例4已知函数，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证数列是递减数列.
分析：①本题已知函数关系式，并给出了的关系式，将其看作关于的方程解出即可.②数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.
（1）解：∵，，
∴，即．.
∴， （※）
解得
又∵，∴；
（2）证明：由．
又∵．.
∴数列是递减数列.
评注：本题主要应用函数与方程的思想解题，（※）式可看成是关于的方程；而求出的通项公式又反映了是关于n的函数.解题过程中这个细节要注意．