刘徽与割圆术.doc

劉徽﹝約公元3世紀﹞
關於劉徽的生卒年代和身世履歷不詳，他可能是現今山東省臨淄或淄川一帶人。
劉徽注《九章算術》，同時又撰有《重差》一卷，《重差》後來印成單行本改稱為《海島算經》，在注文中，劉徽用語言來講清道理，用圖形來解釋問題﹝析理以辭，解體用圖﹞。他不是只停留在對《九章》的注釋上，而是更上一層樓，在注釋的同時提出了許多創造性見解，例如為闡述幾何命題，証明幾何定理，創造了「以盈補虛法」，更為計算圓周率提出了「割圓術」：劉徽從最簡單的正六邊形開始，由正192邊形的面積得到π=151/50或3.14。不過他更進一步算出3.14<π<3.14，後來在另一個地方，劉徽用他的方法，繼續演算到3072邊形，並且得到他的最佳值──一個相當於3.14159的數。
「割圓術」是我國數學史上首次將極限概念用於近似計算。此外，劉徽的「齊同術」和「方程新術」等，是對《九章算術》方法的進一步闡述與補充。在注釋《九章》的同時，劉徽深感有創立新的測量方法的必要，於是提出了重差術，撰《重差》一卷。
劉徽創立了割圓術，給出了「割圓」的一般法則，後世的割圓家可能在π的近似值上估計得比他精密，但若論及創始的功勞，則他的地位是無人可以替代的。
劉徽是魏人，經歷可能延長到晉朝，這是史家根據《隋書》記載的「魏陳留王景元四年（263A.D.）劉徽注九章」的文句推斷出來的。除此之外，我們對他的身世一無所知。晉朝算學博士王孝通（《緝古算經》的作者）稱讚他「思極毫芒」，推許他的著作「一時獨步」。他那極富原創性的《九章算術注》（附於現傳本的《九章算術》內），及《重差術》（即現傳的《海島算經》）二部著作，的確是他不朽聲名的最佳註腳。
劉徽的割圓術記載在九章算術第一卷方田章的第32題關於圓面積計算的注文裏。我們把它歸納為下列幾點來加以說明。
一、劉徽首先指出利用π=3這一數值算得的結果不是圓面積，而是圓內接正十二邊形的面積，這個結果比π的真值少。
二、他由圓內接正六邊形算起，逐漸把邊數加倍，算出正12邊形、正24邊形、正48邊形、正96邊形……的面積，這些面積會逐漸地接近圓面積。
三、已知正6邊形一邊（恰與半徑等長，清朝戴震校勘算經時，曾經補上一個證明圖，詳見《九章算術》），即求得正12邊形邊長，……。由正12邊形求正24邊形一邊之長時，劉徽反覆地應用到句股定理（或稱商高、畢氏定理），如圖二：

圖二

為了印證我們上述的解說，在此我們特別摘錄了劉徽的注文HYPERLINK"http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_2_08/notes.html"\l"foot98"\t"wNote"註3：
「割六觚以為十二觚，術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓裏觚之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。以句冪二十五寸減弦冪，餘七十五寸，開方除之下至秒忽，又一退法，求其微數。微數無名，知以為分子，以下為分母，約作五分忽之二，故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑，餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面，又謂之小股，為之求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，餘忽棄之。開方除之，節十二觚之一面也。」
按著，我們再加入圖解（希望不是添足）如圖三，

圖三
100方寸－25方寸＝75方寸，

（最後這個近似值原注文沒有給出，是我們另加上去的。）
劉徽的注文中還有割12邊為24邊，割24邊為48邊，割48邊為96邊，及割96邊為192邊，此處不贅，有興趣的讀者請自行去查閱。
四、有了正2n邊形的邊長l2n，則按《九章算術》中的「半周、半徑相乘」公式，可以算出正4n邊形的面積，為：

由於恰好是四邊形ABCD的面積（見圖二），所以上述的論斷是正確的，
劉徽算出

又稱S192-S96=105/62500為差冪，它的兩倍210/62500稱為正96邊形的外弧田，即

這樣的面積已經「出圓之表（超出圓面積）」了，顯然圓冪（面積）S滿足：

這裏的S192=3.14+64/62500=3.14+0.001024=3.141024，相當於求得的π值為3.141024。請注意：在半徑為一單位長的情形下，圓面積和半圓周長的度量是相等的（都是π）。劉徽在此處顯然引用了這個事實。但他並沒有特別指明。
五、劉徽並不認為S192是終結，他表示還可以像這樣一直「割」下去。《九章算術》注文明白寫著：「割之彌細，所失彌少；割之又割，以至於不可割，則與圓周，體而無所失矣。」這段注文充分說明了劉徽對極限概念，已經具有了相當程度的認識了。對一般的自然數n而言，

根據三角學的理論，很容易求得

因

故（割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。）
後來。劉徽果然繼續割到3072邊，得到HYP