分数阶偏微分方程的高阶数值算法研究的开题报告.docx

分数阶偏微分方程的高阶数值算法研究的开题报告
开题报告
一、研究背景
近年来，随着分数阶微积分及其应用的不断深入，分数阶微积分的数学理论已初步形成，分数阶偏微分方程的研究也越来越引起人们的关注。目前分数阶偏微分方程数值解法研究中，比较成熟的算法有非经典的有限差分法、有限元法，以及基于谱方法的谱元法等。然而，这些方法主要是针对标准的二阶偏微分方程或偏微分方程组进行研究，对于分数阶偏微分方程的高阶数值算法研究还比较薄弱。
二、研究目的
本文旨在研究分数阶偏微分方程的高阶数值算法，具体研究内容如下：
1.分析现有的数值算法中存在的问题，以及其在高维情况下的适用性问题；
2.研究分数阶偏微分方程的误差估计及数值误差分析，针对现有算法中服务的光滑度条件进行优化研究；
3.提出新的高阶数值算法，分别基于有限差分法、有限元法以及谱元法进行研究，探讨新的高阶技术在实际应用中的性能表现，验证算法的正确性以及稳定性。
三、研究内容
本文的主要研究内容如下：
1.综述目前分数阶偏微分方程的数值解法研究现状以及常用的数学理论；
2.分析现有分数阶偏微分方程的高阶数值算法存在的问题，考虑现有算法的适用条件，提出针对性的改进方案；
3.提出针对分数阶偏微分方程的高阶数值算法，并进行算法正确性和稳定性的证明；
4.数值实验部分，对比分析新算法与现有算法在不同应用场景中的性能表现。
四、研究方法
本文所采用的研究方法如下：
1.经过文献调研，综述目前分数阶微积分及其应用研究现状，分析现有分数阶偏微分方程的高阶数值算法存在的问题；
2.基于现有的数值算法研究平台，完善代码的功能以及改进；
3.针对编写的新算法，使用MATLAB、Python等数学软件进行算法正确性的验证以及稳定性分析，定量验证算法的有效性；
4.应用理论模型，对新算法进行数值实验，比较新算法与现有算法的性能差异。
五、预期成果
1.提出针对分数阶偏微分方程的高阶数值算法，并进行算法正确性和稳定性的证明；
2.数值实验部分，对比分析新算法与现有算法在不同应用场景中的性能表现，并提出改进方案；
3.发表科研论文，提高自己的学术水平，提高科学研究的能力。
六、进度安排
时间节点完成内容
第1-2个月综述分数阶微积分及其应用研究现状
第3-4个月分析现有算法所存在的问题，提出改进方案
第5-7个月提出针对分数阶偏微分方程的高阶数值算法，并进行算法正确性和稳定性的证明
第8-9个月数值实验部分，对比分析新算法与现有算法的性能表现，并提出改进方案
第10-11个月完善论文撰写及回答指导教师提出的问题
第12个月完成毕业论文并答辩
七、参考文献
1.李之才.分数阶微积分与分数阶微积分方程[M].北京:科学出版社,2016.
2.刘莉,曹勇.分数阶微积分学及其应用[M].科学出版社,2014.
3.左洪超,李锋.分数阶微积分基础[M].科学出版社,2015.
4.许建勋,吴彦辉.数学物理方法基础（第3版）[M].北京:科学出版社,2010.
5.林子渊.分数阶微积分方程有限差分算法的研究及其应用[D].中山大学,2019.