基于Richardson外推法的高阶紧致差分方法研究的开题报告.docx

基于Richardson外推法的高阶紧致差分方法研究的开题报告
摘要：
本文介绍了一种基于Richardson外推法的高阶紧致差分方法，在研究差分方程时取得了很好的效果。首先，我们介绍了紧致差分方法的基本原理和优缺点。然后，我们详细介绍了Richardson外推法，并探讨了它在紧致差分方法中的应用。最后，我们给出了具体的数值实验，证明了该方法的正确性和优越性。
关键词：紧致差分方法、Richardson外推法、高阶数值解、差分方程。
1.研究背景和意义
差分方法是数值计算中的一种常见方法，差分方程是许多实际问题的重要数学模型。紧致差分方法是一类高效精确的差分方法，近年来在数学、物理和工程领域中得到了广泛的应用，如气象学、流体力学、地震学、量子力学等。因此，对紧致差分方法的研究具有重要的意义。
2.研究内容与方法
2.1紧致差分方法
紧致差分方法是一种有限差分方法，其基本思路是将未知函数在离散点上的函数值和一阶导数表示为一阶导数本身和一些相邻点上的函数值的线性组合形式，进而求解未知函数在整个区间上的近似解。紧致差分方法具有良好的精度和收敛性，同时还具有计算量小，精度可控的特点。
2.2Richardson外推法
Richardson外推法是一种经典的提高数值解精度的方法，它采用微小的步长逐步逼近精确解，然后对近似解进行外推，从而得到更高精度的数值解。Richardson外推法非常适合于将低阶差分方法升阶，提高数值解的精度。
2.3基于Richardson外推法的高阶紧致差分方法
本文主要通过应用Richardson外推法来提高紧致差分方法的精度，这种方法可以进一步提高紧致差分方法的收敛速度和数值精度，从而更好地解决实际问题。我们将在实验中验证该方法的正确性和优越性。
3.预期成果
1.建立基于Richardson外推法的高阶紧致差分方法数学模型；
2.比较该方法与传统紧致差分方法的精度和收敛速度；
3.实现相关数值算例，验证该方法的正确性和优越性。
4.研究计划
时间节点工作任务
2021.9-2021.10查阅文献，学习差分方法和紧致差分方法的基本原理
2021.11-2022.2学习Richardson外推法及其在数学计算中的应用
2022.3-2022.6建立基于Richardson外推法的高阶紧致差分方法数学模型
2022.7-2022.9进行相关数值算例的计算与分析
2022.10-2022.12编写论文，准备答辩
参考文献：
[1]ShenJ,TangT.Spectralandhigh-ordermethodsforpartialdifferentialequations[M].Springer,2011.
[2]LeVequeRJ.Finitedifferencemethodsforordinaryandpartialdifferentialequations[M].SIAM,2007.
[3]DouglasJ,SarkisM.Adaptivemethodsforpartialdifferentialequations[C]//Handbookofnumericalanalysis.Elsevier,1997:647-731.