几类非线性微分方程边值问题的正解的中期报告.docx

几类非线性微分方程边值问题的正解的中期报告
非线性微分方程在许多领域中都具有重要的应用，例如物理、工程、数学等。本报告将介绍几类非线性微分方程的边值问题的正解。
一、常微分方程的边值问题
考虑形如f''(x)+g(f(x))=0的常微分方程的边值问题，其中f(a)=f(b)=0，g是非线性函数。这类方程的正解需要一些特殊技巧，一般需要将方程转化为等价的积分方程，并利用Fredholm积分方程的理论来求解。具体的求解过程还需要更进一步的研究。
二、偏微分方程的边值问题
（1）拟线性偏微分方程边值问题
考虑形如Lu+f(u)=0的拟线性偏微分方程的边值问题，其中L是二阶线性椭圆型偏微分算子，f是非线性函数。这类方程的正解可以采用分离变量法来求解。具体来说，我们可以将问题转化为求解一个特殊的非线性积分方程，在该方程上应用Brouwer不动点定理或Babin森林定理来证明正解的存在性和唯一性。
（2）非线性波动方程边值问题
考虑形如u''(x,t)-c^2Δu(x,t)+f(u(x,t))=0的非线性波动方程的边值问题，其中Δ是Laplace算子，f是非线性函数。这类方程的正解可以通过采用若干非线性展开技巧，例如量子展开法、非线性Fourier展开法等来求解。
三、随机微分方程的边值问题
考虑形如du(t)=f(t,u(t))dt+g(t,u(t))dW(t)的随机微分方程边值问题，其中u(0)=u0，g是一个光滑函数，W(t)是Brownian运动。这类方程的正解需要采用StochasticLyapunov技术，并应用对Lyapunov函数的约束来证明正解的存在性和唯一性。
以上是几类非线性微分方程边值问题的正解的中期报告。