几类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性研究.doc

几类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性研究非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究方向.它以数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景,建立处理许多非线性问题的若干一般性理论和方法,因而能很好的解释各种自然现象,它的丰富理论和先进方法为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具.目前非线性泛函分析的主要内容包括拓扑度理论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调映射理论等,由于非线性问题理论和方法在处理由实际问题产生的各种非线性积分方程,微分方程和偏微分方程中发挥着重要作用,逐渐成为近年来国内外数学界和自然科学界的热门课题之一.非线性分数阶微分方程边值问题是非线性问题的一个重要研究分支.非线性分数阶微分方程模型比非线性整数阶微分方程更精确、实用,这是由于分数阶微分方程是任意阶次的微分,因此非线性分数阶微分方程是经典的非线性整数阶微分方程的推广.近年来,非线性分数阶微分方程边值问题受到越来越多的关注,除了在数学方面的应用,还广泛应用于流体力学,粘弹性力学,生物系统的电传导,神经的分数模型以及分数回归模型等.正是基于其应用的广泛性与有效性,所以对分数阶微积分以及分数阶微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际的应用价值.近年来,越来越多的数学研究工作者对非线性分数阶微分方程边值问题进行了研究并取得了一系列优秀研究成果.本文主要研究了几类奇异非线性分数阶微分方程(组)正解的存在性、唯一性和多解性情况,利用非线性泛函分析的锥理论、Krasnosel’skii不动点定理、AveryPeterson不动点定理、混合单调算子不动点定理、单调迭代方法,谱分析的理论,Leray-Schauder非线性抉择性、Schauder不动点定理,Sadovskii不动点定理和巴拿赫压缩不动点定理等获得了一些新的深刻而有意义的结果.本文共分七章.第一章绪论部分,简要介绍了非线性泛函分析及其分数阶微分方程的历史背景,给出了非线性泛函分析理论的一些基本定义和性质,并且列出了后面章节中要用到的关于不动点存在性的几个引理,这些引理在本文主要结果的证明中是至关重要的.第二章,通过在一个特殊的空间和特殊的锥上应用Avery-Peterson不动点定理,得到无穷点边值问题的多解的存在性结果.本章中的方程的非线性含有导数项,给我们的推导带来了一定的困难.第三章,我们研究了无穷点边值正解的存在性,其中非线性项含有9)-1项未知函数的导数且非线性项不仅关于时间变量奇异,同时也关于空间变量奇异.本章在弱化了非线性条件的情况下,得到了比相关参考文献更好的结果,最后,通过一个例子验证了我们的主要结果的有效性.第四章研究了一类奇异分数阶微分方程系统的迭代解,非线性条件里面含有分数阶导数,并且非线性条件允许关于时间和空间同时奇异,正解的获得主要是通过混合单调算子不动点定理,且方程系统的正解依赖于参数,给出了迭代序列和收敛率,故有一定的应用价值,最后通过例子展示了主要结果的有效性.第五章考虑了一类带有几个参数的Laplacian算子的微分方程正解的存在性,通过混合单调算子,在锥上利用不动点定理,得到了一些新的结果并且实例证明了主要结果的有效性.第六章,我们通过谱分析的方法得到了带有积分边值奇异分数阶微分方程正解的存在性,其中非线性项含有9)-1项导数项,非线性项不仅关于时间奇异,而且关于空间奇异.第七章7.1节我们建立了非线性脉冲分数阶反应扩散方程的迭代解;7.2节我们得到了脉冲分数阶反应扩散方程的温和解的存在性.