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亚纯函数及代数体函数的奇异方向的中期报告
为了深入理解亚纯函数及代数体函数的奇异方向，本次中期报告主要围绕以下两个方面展开：
1.亚纯函数及代数体函数的奇点
首先，我们回顾了亚纯函数的定义和性质。亚纯函数是定义在复平面上除了有限个极点外都解析的函数，其在极点处的发散程度决定了其奇性。
接着，我们介绍了如何刻画亚纯函数的奇点分布。具体地，利用诸如孤立奇点、极点、本性奇点、泊松奇点等概念描述亚纯函数的奇点类型，并且给出了它们的一些性质。此外，我们还讨论了奇点分布的零点定理和极点分解定理。
对于代数体函数，我们首先给出了定义和一些基本概念，例如代数函数域、超越导数、极点、零点、奇点等。接着，我们介绍了代数体函数的分解和级数展开方法。具体地，通过利用Laurent级数和Puiseux级数，我们可以将代数体函数分解为有限多个亚纯函数和一些具有幂级数展开的有理函数之和。
2.亚纯函数及代数体函数的应用
在了解亚纯函数及代数体函数的奇点分布和级数展开的基础上，我们重点介绍了它们的一些应用。
首先，我们利用亚纯函数的性质和奇点分布定理推导出了留数定理。留数定理是亚纯函数理论中非常重要的定理，它可以方便地计算亚纯函数的积分。接着，我们讨论了一些计算留数的具体方法，如留数公式、留数定理的推广等。
对于代数体函数，我们将重点放在了它们的代数性质方面。具体地，我们定义了代数可解的概念，并探讨了代数可解的函数在代数上的性质。此外，我们还讨论了代数体函数的特殊函数形式，包括椭圆函数、超几何函数、超椭圆函数等，并介绍了它们的级数展开和一些基本性质。