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中考复习专题--------圆的切线的判定与性质

2009年5月10日

2009年中考复习之切线的判定与性质

知识考点：
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，
切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：
【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O
的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）EM＝FM。
分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是⊙O
的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2
∵DE切⊙O于E，∴∠2＝∠BACB
∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝900E
02
∴∠1＋∠3＝90，故BC是⊙O的切线。MD
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC⊥AC1
3

又∵EF⊥AC，∴EF∥BCAOFC
EMAMMF
∴
BDADCD
∵BD＝CD，∴EM＝FM例1图
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于
点D。求证：AC是⊙O的切线。A
分析：由于⊙O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O

向AC作垂线段OE，证OE就是⊙O的半径即可。DE
证明：连结OD、OA，作OE⊥AC于E
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线
BOC
∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB
又∵OE⊥AC，∴OE＝OD
∴AC是⊙O的切线。例2图
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦
AD，OA＝r。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求ADOC的值；
9
（3）若AD＋OC＝r，求CD的长。
2
分析：（1）要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只须连结OD，证OD⊥DC
即可；（2）求ADOC的值，一般是利用相似把ADOC转化为其它线段长的乘积，若其
它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由ADOC，AD
C
9
＋OC＝r可求出AD、OC，根据勾股定理即可求出CD。
2D
证明：（1）连结OD，证∠ODC＝900即可；1
（2）连结BD2
3
AB
O

例3图
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝900
∵∠OBC＝900，∴∠ADB＝∠OBC
又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC
ADAB
∴
OBOC

∴ADOCOBAB2r2
9
（3）由（2）知ADOC2r2，又知AD＋OC＝r
2
9
∴AD、OC是关于x的方程x2rx2r20的两根
2
r
解此方程得x，x4r
122
∵OC＞r，∴OC＝4r

∴CD＝OC2OD216r2r215r

探索与创新：
【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，
CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。
（1）求∠G的余弦值；
（2）求AE的长。
略解：（1）设正方形ABCD的边长为a，FA＝FE＝6，在Rt△FCD中，

FC2FD2CD2，(ab)2(ab)2a2，解得a4b。G
CDa4b4F
∴cosFCDAD
FCab5b5E
4
∵AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∴cosGO
5
（2）连结BE，∵CG切半圆于E，∴∠AEG＝∠GBE
BC
∵∠G为公共角，∴△AEG∽△EBG问题一图
AEGE161
∴
BEGB322
24
在Rt△AEB中，可求得AE5
5
【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝（定值），⊙O的圆心O在
AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。
（1）求∠POQ；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线
上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。
分析：（1）连结OC，利用直角三角形的性质易求∠POQ；（2）试将∠DOE用含的
式子表示出来，由于为定值，则∠DOE为定值。
解：（1）连结OC
∵BC切⊙O于P、Q，∴∠1＝∠2，OP⊥CA，OQ⊥CB
∵CA＝CB，∴CO⊥AB
∴∠COP＝∠CAB，∠COQ＝∠CBA
∵∠CAB＝，∴∠POQ＝∠COP＋∠COQ＝2
（2）由CD、DE、CE都与⊙O相切得：
11C
∠ODE＝∠CDE，∠OED＝∠CED
22
PQ
∴∠DOE＝1800－（∠ODE＋∠OED）
1AB
＝180