中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质.doc

中考复习专题--------圆的切线的判定与性质

2009年5月10日

2009年中考复习之切线的判定与性质
知识考点：
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：
【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）EM＝FM。
分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是⊙O的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2
∵DE切⊙O于E，∴∠2＝∠BAC
∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝900
∴∠1＋∠3＝900，故BC是⊙O的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC⊥AC
又∵EF⊥AC，∴EF∥BC
∴
∵BD＝CD，∴EM＝FM
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。
分析：由于⊙O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O向AC作垂线段OE，证OE就是⊙O的半径即可。
证明：连结OD、OA，作OE⊥AC于E
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线
∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB
又∵OE⊥AC，∴OE＝OD
∴AC是⊙O的切线。
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求的值；
（3）若AD＋OC＝，求CD的长。
分析：（1）要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只须连结OD，证OD⊥DC即可；（2）求的值，一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由，AD＋OC＝可求出AD、OC，根据勾股定理即可求出CD。
证明：（1）连结OD，证∠ODC＝900即可；
（2）连结BD
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝900
∵∠OBC＝900，∴∠ADB＝∠OBC
又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC
∴
∴
（3）由（2）知，又知AD＋OC＝
∴AD、OC是关于的方程的两根
解此方程得，
∵OC＞，∴OC＝
∴CD＝
探索与创新：
【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。
（1）求∠G的余弦值；
（2）求AE的长。
略解：（1）设正方形ABCD的边长为，FA＝FE＝6，在Rt△FCD中，，，解得。
∴
∵AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∴
（2）连结BE，∵CG切半圆于E，∴∠AEG＝∠GBE
∵∠G为公共角，∴△AEG∽△EBG
∴
在Rt△AEB中，可求得
【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝（定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。
（1）求∠POQ；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。
分析：（1）连结OC，利用直角三角形的性质易求∠POQ；（2）试将∠DOE用含的式子表示出来，由于为定值，则∠DOE为定值。
解：（1）连结OC
∵BC切⊙O于P、Q，∴∠1＝∠2，OP⊥CA，OQ⊥CB
∵CA＝CB，∴CO⊥AB
∴∠COP＝∠CAB，∠COQ＝∠CBA
∵∠CAB＝，∴∠POQ＝∠COP＋∠COQ＝
（2）由CD、DE、CE都与⊙O相切得：
∠ODE＝∠CDE，∠OED＝∠CED
∴∠DOE＝1800－（∠ODE＋∠OED）
＝1800－（∠CDE＋∠CED）
＝1800－（1800－∠ACB）
＝1800－[1800－（1800－）]
＝
∴∠DOE为定值。

跟踪训练：
一、选择题：
1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线；
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；
C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、在Rt△ABC中，∠A＝900，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝，AC＝，则⊙O的半径为（）
A、B、C、D、
3、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF∶FD＝（）
A、1∶2B、1∶3C、1∶4D、2∶5
4、如图，过⊙