平面向量的数量积及运算律.doc

Xupeisen110高中数学

平面向量的数量积及运算律
教材：平面向量的数量积及运算律
目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。
过程：
复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。
它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。

s
F
但这种运算与实数的运算有了很大的区别。
导入新课：
力做的功：W=|F||s|cos
是F与s的夹角
定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab=|a||b|cos，
=0
=180




O
O
O
O
O
O
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
C
并规定0与任何向量的数量积为0。
向量夹角的概念：范围0≤≤180

C

注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。这就得性质2。
O
a
A
c
b


4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c。但是ab=bca=c
如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|
bc=|b||c|cos=|b||OA|
ab=bc但ac
5在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。
例题、P116—117例一（略）
投影的概念及两个向量的数量积的性质：
1．“投影”的概念：作图
A
OO
BO
B1O
a
b

A
OO
BO
B1O
a
b

A
OO
BO
(B1)O
a
b


定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
注意：1投影也是一个数量，不是向量。
2当为锐角时投影为正值；
当为钝角时投影为负值；
当为直角时投影为0；
当=0时投影为|b|；
当=180时投影为|b|。
2．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
3．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
1ea=ae=|a|cos
2abab=0
3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|。
特别的aa=|a|2或
4cos=
5|ab|≤|a||b|
例题：《教学与测试》P151第72课例一（略）
小结：向量数量积的概念、几何意义、性质、投影
作业：P119练习
习题5.61—6