平面向量的数量积及运算律.doc

Xupeisen110高中数学

平面向量的数量积及运算律
教材：复习四——平面向量的数量积及运算律
目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。
过程：
复习：
定义、其结果是一个数量。
a•b>00≤<90；a•b=0==90即ab；a•b<090<≤180
性质1—5
运算律
例题：
已知|a|=5，|b|=8，a与b的夹角为60，求|a+b|
解：a•b=|a||b|cos60=5×8×=20
∴|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a•b=129
∴|a+b|=
求证：|a+b|≤|a|+|b|
证：|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a•b=|a|2+|b|2+2|a||b|cos
≤|a|2+|b|2+2|a||b|=(|a|+|b|)2
即：|a+b|≤|a|+|b|
设非零向量a、b、c、d，满足d=(a•c)b(a•b)c，求证：ad
证：内积a•c与a•b均为实数，
∴a•d=a•[(a•c)b(a•b)c]=a•[(a•c)b]a•[(a•b)c]
=(a•b)(a•c)(a•c)(a•b)=0
∴ad
已知非零向量a、b，满足a±b，
求证：ba垂直于a+b的充要条件是|a|=|b|
证：由题设：ba与a+b均为非零向量
必要性：设ba垂直于a+b，则(ba)(a+b)=0
又：(ba)(a+b)=b2a2=|b|2|a|2
∴|b|2|a|2=0即：|a|=|b|
充分性：设|a|=|b|，则(ba)(a+b)=b2a2=|b|2|a|2=0
即：(ba)(a+b)=0∴(ba)(a+b)
5．已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，
a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
两式相减：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
C
A
B
D
a
b
设a、b的夹角为，则cos=
∴=60
6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。
证：设==a,==b
∵ABCD为菱形∴|a|=|b|
∴=(b+a)(ba)=b2a2=|b|2|a|2=0
∴
7．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，
求证：AD、BE、CF相交于一点。
A
B
C
D
E
F
H
证：设BE、CF交于一点H，
=a,=b,=h,
则=ha,=hb,=ba
∵,
∴
∴
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点
作业：《导学•创新》§5.6