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高等数学精编教程第九章多元函数积分学

第九章多元函数积分学

第一节三重积分

n

1.定义f(x,y,z)dVlimf(k,k,k)vk.
d0
k1

2.性质:

3.计算:

1)直角坐标:i)先一后二;ii)先二后一.

2)柱坐标:dVdddz

3)球坐标:dVr2sindrdd

4)利奇偶性

若积分域关于xoy坐标面对称,f(x,y,z)关于z有奇偶性,则


2f(x,y,z)dVf(x,y,z)关于z是偶函数.
f(x,y,z)dVD
z0
0f(x,y,z)关于z是奇函数.

5)利用变量的对称性.

【例9.1】计算zdV,其中由x2y2z2z和x2y2z22z所确定.


2
22y2z
【例9.2】计算,I(xy)dV其中由曲线，绕oz轴旋转一周而成的
x0

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【例9.3】设f(t)连续,F(t)[z2f(x2y2)]dV,其中由

dFF(t)
x2y2t2,0zh所确定.求,lim.
dtt0t2

第二节对弧长的线积分（第一类线积分）

计算方法

1．直接法：

xx(t)
1)若C:，t，则
yy(t)


f(x,y)dsf(x(t),y(t))x2(t)y2(t)dt.
C

2)若C:yy(x)，axb，则

b
f(x,y)dsf(x,y(x))1y2(x)dx
Ca

3)若C:()，，则


f(x,y)dsf(cos,sin)22d
C

2.利用奇偶性.

1)若积分曲线C关于y轴对称,则.


2f(x,y)ds,当f(x,y)关于x为偶函数.
f(x,y)dsCx0
C
0,当f(x,y)关于x为奇函数.
2)若积分曲线C关于x轴对称,则

2f(x,y)ds,当f(x,y)关于y为偶函数.
f(x,y)dsCy0
C
0,当f(x,y)关于y为奇函数.
3．利用对称性

若积分曲线关于直线yx对称,则f(x,y)ds=f(y,x)ds
CC
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特别的f(x)dsf(y)ds
CC
题型计算对弧长的线积分

x2y2
【例9.4】设L是椭圆1，其周长为a，则(2xy3x24y2)ds.
43C

【例9.5】计算I[x2(y1)2]ds,其中C为x2y2Rx(R0).
C

第三节对坐标的线积分(第二类线积分)

1.计算方法(平面)

1)直接法;

QP
2)格林公式PdxQdyd.
C
Dxy

3)补线用格林公式

4)利用线积分与路径无关

PQ
（1）判定:.
yx

（2）计算:

a)改换路径;

(x2,y2)
b)利用原函数PdxQdyF(x2,y2)F(x1,y1),其中
(x,y)
11

PdxQdydF(x,y),求原函数方法:①偏积分;②凑微分.
2.两类线积分的联系:PdxQdy(PcosQcos)ds.
CC

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222
【例9．6】计算Iyeydx(xey2xy2ey)dy.其中C为y3x从O(0,0)到
C

A(1,1)的曲线段.

2
【例9.7】设C为椭圆4x2y28x沿逆时针方向,则(ey)dx(xy2)dy.
C

【例9.8】计算I(exsinyb(xy))dx(excosyax)dy,其中a,b为正常数,C
C

为从点A(2a,0)沿曲线y2axx2到点O(0,0)的弧.

ydxxdy
【例9.9】计算I,其中
22
Cxy
1
(1)C为x2y22y的正向;(2)C为4x2y28x4的正向.
2


【例9.10】计算I[(y)cosxy]dx[(y)sinx]dy,其中AMB弧为连结

AMB

A(,2)与点B(3,4)的线段AB的下方的任意分段光滑简单曲线,且该曲线与线段AB所

围图形面积为2,

【例9.11】设函数f(x)在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞０）内的有向分段

光滑曲线，起点为（a,b），终点为（c,d）.记

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1x
I[1y22f(xy)]dx[