产品销量预测.doc

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2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔

承诺书

我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.
我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：B
队员签名：1.
2.
3.

日期：2012年8月23日

2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔

编号专用页

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B题：产品销量预测

摘要

本题涉及到经济问题，产品销量预测是现在社会的热点话题，因为在市场经济的条件下谁能把握市场谁就能在竞争中把握主动权，企业才能获得利润。故企业在进行新产品营销决策前，首先要对市场进行调查研究，做好产品定位工作，把影响产品销售的各种主要因素，纳入市场营销系统来进行分析预测产品的销量，以便为公司的发展作出合理的规划。

本文针对本题对建立合理的模型对新产品的销量进行了的预测，并用实例进行了检验。

针对问题一：建立了微分方程模型，并借鉴建模指导书中习题的数据对模型进行了检验。
针对问题二：建立了logistic模型阻滞增长模型，并对数据对模型进行了检验。

针对问题三：本文综合考虑了各种因素运用产品生命周期理论对产品的销量进行了合理预测并进行实例数据检验。

关键词：微分方程产品生命周期理论matlablogistic模型

一、问题重述

设有某种新产品要推向市场,t时刻的销量为由于产品性能良好,每个产品都是一个宣传品,因此,t时刻产品销量与t有关。
设t时刻产品销量的增长率与成正比,预测时的产品销量；
设考虑到产品销售存在一定的市场容量N,统计表明与该产品的潜在容量成正比,预测时的产品销量；
试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测时的产品销量.

问题分析与思路流程图

2.1问题的分析

本题涉及到经济问题，所以在建模之前我们先利用经济学的知识对题目进行初步分析找到切入点，然后通过数学的思想进行求解。由于数学只能对某一特定问题进行分析，所以我们先应该对题目作出量化分析，建立适当的模型，从而进一步达到解决问题的目的。

针对问题一：根据题中所给的条件“t时刻产品销量的增长率与成正比”，建立了微分方程模型，并取第一时间单位销量为初始值，求出了时间t和销量x的关系，以此预测来时刻的大小。

针对问题二：根据题中所给的条件“与该产品的潜在容量成正比”,建立了微分方程模型来预测时的产品销量。

针对问题三：根据题目要求要考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型。排除题目一、二已分析的因素，仍有很多因素影响产品销量，且在不同的阶段影响产品销量的主要因素不同，因此为了能够更为准确、全面的预测产品的销量，本文运用产品生命周期理论来预测新产品未来的销量。

2.2思路流程图：

通过上述问题分析，为了便于模型的建立和求解，绘制出本文的思路流程图如下:

模型假设

1、假设公司的内部环境稳定，不发生大的变动；
2、该产品受国家宏观经济政策影响较小；
3、该产品与其他产品相比优势明显，具有创新性；
4、产品定价合理；
5、产品销售不受人为因素影响；
6、假设一段时间内消费人群的数量不会有很大变化；
7、忽略随机因素的影响；
8、产品销量很大；
9、由于产品性能良好,每个产品都是一个宣传品；

符号定义与说明

x(t):产品销量
r、k:比例系数
C、c：实常数
x。：产品投入市场后第一个单位时间的销量
N：市场对产品的最大容量
t：时间权数
：预测值
K：限值或饱和点
b：决定曲线中间部分的斜率
a:定曲线的位置

模型建立及实例分析

5.1问题一：

模型建立：记时刻时的销量为，由于假设是一个很大的整数，那么可近似认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。记时刻的销量为，由于t时刻产品销量的增长率与成正比，则可建立如下微分模型：

（1）

模型求解：

结果：
（2）

因为产品是新产品，所以在产品即将卖出、尚未卖出的时刻为t=0显然，这时由（2）式可知x(t)=o,这一结果自然与事实不符。产生这一结果的原因在于假定了产品性能良好,每个产品都是一个宣传品,，即假定产品