Matlab优化(求极值).doc

第七讲Matlab优化（求极值）
理论介绍：算法介绍、软件求解.
一．线性规划问题
1.线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小值的问题，Matlab中规定线性规划的标准形式为

其中c和x为n维列向量，A、Aeq为适当维数的矩阵，b、beq为适当维数的列向量。注意：线性规划问题化为Matlab规定中的标准形式。
求解线性规划问题的Matlab函数形式为linprog(c,A,b)，它返回向量x的值，它的具体调用形式为：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
这里fval返回目标函数的值，LB、UB分别是变量x的下界和上界，x0是x的初始值，OPTIONS是控制参数。
例1求解线性规划问题

程序：c=[2;3;5];
>>A=[-2,5,-1;1,3,1];b=[-10;12];
>>Aeq=[1,1,1];beq=[7];
>>LB=[0;0;0];(zeros(3,1))
>>[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,[])
练习与思考：求解线性规划问题

注意：若没有不等式：存在，则令A=[]，b=[].若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].
2.可以转化为线性规划的问题
规划问题其中为相应维数的矩阵和向量。注意到对任意的存在满足，事实上只要取

就可以满足上面的条件。
这样，记从而可以把问题变成

例2求解规划问题，其中
对于这个问题，如果取，这样，上面的问题就变换成

这是我们通常的线性规划问题。
练习与思考：规划问题

二．非线性一元函数的最小值
对于求一元函数的最小值问题，Matlab提供了一个命令函数fminbnd，fminbnd函数的调用格式为：X=fminbnd(fun,x1,x2)和[X,fval]=fminbnd(fun,x1,x2)
其中fun为目标函数，x1，x2为变量的边界约束，即，X为返回的满足fun取得最小值的x的值，fval为目标函数值。
例3计算函数的最小值和f(x)取最小值时x的值，
程序：>>clear
>>fun='(x^3+x^2-1)/(exp(x)+exp(-x))';
>>ezplot(fun,[-5,5])
>>[X,fval]=fminbnd(fun,-5,5)
练习与思考：如何求一元函数的最大值？
三．无约束非线性多元变量函数的优化
对于无约束非线性多元变量函数的优化问题，主要采用命令函数fminsearch和fminunc，其中fminsearch比较适合处理低阶多间断点的函数，fminunc则对高阶连续函数有效。
1．命令函数fminsearch
函数fminsearch求解目标函数fun的最小值和fun取最小值时变量x的值，调用格式为：X=fminsearch(fun,X0)和[X,fval]=fminsearch(fun,X0)
其中X0为声明变量的初始值，X为返回的x的值，fval为返回的fun的值。
例4求使目标函数取得最小值。
程序：>>clear
>>X0=[0,0];
>>[X,fval]=fminsearch('sin(x(1))+cos(x(2))',X0)
说明：声明变量初始值对返回的x的值的影响。X0=[100,100]?
2．命令函数fminunc
函数fminunc通过计算寻找多变量目标函数fun的最小值，调用格式为：X=fminunc(fun,X0)和[X,fval]=fminunc(fun,X0)
其中X0为优化的初始值，X为返回的x的值，fval为返回的fun的值。
例5对函数进行最小值优化。
程序：>>clear
>>fun='exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)';
>>x0=[0,0];
>>[x,fval]=fminunc(fun,x0)
注意：fminunc函数只能处理实函数的优化问题，目标函数最好是连续函数，给出的解可能只是局部解。
四．有约束非线性多元变量函数的优化
1．Matlab命令函数fmincon可以处理有约束的非线性多元变量的优化问题，有约束多元变量优化问题的数学模型为：求一组变量xi，满足在给定的约束条件下，使目标函数f(xi)取得最小值。目标函数一般为非线性函数，约束条件有线性不等式约束、线性等式约束、变量边界约束和非线性约束。线性约束：，等式约束：，边界约束：，fmincon函数的调用格式为：
[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb,Ub,nonlcon,options)
其中，nonlcon表示非线性约束条件，options为设置的控制优化过程的优化参数向量(可以用opt