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双Cayley图的若干性质的中期报告
双Cayley图是一类特殊的图，在数学研究中扮演着重要的角色。在本次报告中，我们将介绍双Cayley图的定义、相关概念和性质以及一些已知结果和未解决的问题。
一、双Cayley图的定义
双Cayley图是指由一个群G生成的两个图（一般是无向图），其中一个图以G的元素为顶点，另一个图以G的左陪集为顶点，并且在两个图之间有一一对应的映射，具有一些特定的性质。
二、相关概念和性质
1.左、右Cayley图：以群G的元素为顶点，若ab的映射为从a到b的有向边，则生成的图称为左Cayley图；以G的左陪集为顶点，若La·b的映射为从La到Lb的有向边，则生成的图称为右Cayley图。
2.完全双分图：若一个无向图的所有顶点可以分成两个互不相交的子集V1和V2，使得每个V1中的顶点都和每个V2中的顶点相邻，则称该图为完全双分图。
3.互补图：若两个无向图均为完全双分图，且其顶点集合分别为V1和V2，则称这两个图为互补图。
4.双Cayley图的充要条件：若G为有限群，且存在互补图X和Y使得X和Y分别作为左和右Cayley图，则称(X,Y)为G的双Cayley图，称X为主图，Y为副图。
5.周期性：双Cayley图中顶点数的最大公因数称为双Cayley图的周期性。
三、已知结果和未解决的问题
1.双Cayley图的常见例子：D8（正方形的对称群）、S4（4个元素的排列群）、Cn（n个元素的循环群）的双Cayley图等。
2.关于双Cayley图的问题：如何构造给定群的双Cayley图？给出双Cayley图的一个有效的判定方法？研究双Cayley图的自同构群等。
四、总结
双Cayley图作为一个重要的数学概念，具有许多重要的性质和未解决的问题。为了更好地理解双Cayley图的性质和结构，我们需要进一步探究其内在规律和特点。