高数第五版答案1-3.doc

习题13
1.根据函数极限的定义证明:
(1);
(2);
(3);
(4).
证明(1)分析|(3x1)8||3x9|3|x3|,要使|(3x1)8|,只须.
证明因为0,,当0|x3|时,有|(3x1)8|,所以.
(2)分析|(5x2)12||5x10|5|x2|,要使|(5x2)12|,只须.
证明因为0,,当0|x2|时,有|(5x2)12|,所以.
(3)分析,要使,只须.
证明因为0,,当0|x(2)|时,有,所以.
(4)分析,要使,只须.
证明因为0,,当时,有,所以.
2.根据函数极限的定义证明:
(1);
(2).
证明(1)分析,要使,只须,即.
证明因为0,,当|x|X时,有,所以.
(2)分析,要使,只须,即.
证明因为0,,当xX时,有,所以.
3.当x2时,yx24.问等于多少,使当|x2|<时,|y4|<0.001？
解由于x2,|x2|0,不妨设|x2|1,即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001,只要,取0.0002,则当0|x2|时,就有|x24|0.001.
4.当x时,,问X等于多少,使当|x|>X时,|y1|<0.01?
解要使,只,.
5.证明函数f(x)|x|当x0时极限为零.
6.求当x0时的左﹑右极限,并说明它们在x0时的极限是否存在.
证明因为
,
,
,
所以极限存在.
因为
,
,
,
所以极限不存在.
7.证明:若x及x时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则.
证明因为,,所以>0,
X10,使当xX1时,有|f(x)A|;
X20,使当xX2时,有|f(x)A|.
取Xmax{X1,X2},则当|x|X时,有|f(x)A|,即.
8.根据极限的定义证明:函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性.设f(x)A(xx0),则>0,0,使当0<|xx0|<时,有
|f(x)A|<.
因此当x0<x<x0和x0<x<x0时都有
|f(x)A|<.
这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.
再证明充分性.设f(x00)f(x00)A,则>0,
1>0,使当x01<x<x0时,有|f(x)A<;
2>0,使当x0<x<x0+2时,有|f(x)A|<.
取min{1,2},则当0<|xx0|<时,有x01<x<x0及x0<x<x0+2,从而有
|f(x)A|<,
即f(x)A(xx0).
9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.
解x时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x时的极限存在则存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M
证明设f(x)A(x)则对于1X0当|x|X时有|f(x)A|1所以
|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|
这就是说存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M其中M1|A|