关于复变函数积分求解总结.doc

关于求积分得各种方法得总结
摘要:函数得积分问题就是复变函数轮得主要内容,也就是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分得各种方法、其主要方法有：利用柯西积分定理,柯西积分公式与用留数定理求积分等方法、现将这些方法逐一介绍、
关键词：积分,解析，函数,曲线
利用定义求积分
例1、计算积分，积分路径C就是连接由0到得直线段、
解:为从点０到点得直线方程,于就是

、
利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设在单连通区域内解析,为内任一条周线,则、
柯西积分定理得等价形式：设就是一条周线,为之内部,在闭域上解析,则、
例2、求,其中为圆周,
解:圆周为,被积函数得奇点为,在得外部，
于就是,在以为边界得闭圆上解析,
故由柯西积分定理得等价形式得、
如果为多连通区域,有如下定理:
设就是由复周线所构成得有界多连通区域，在内解析,在上连续,则、
例３、计算积分、
分析:被积函数在上共有两个奇点与，在内作两个充分小圆周,将两个奇点挖掉，新区域得新边界就构成一个复周线,可应用上定理、
解:显然，
任作以与以为心,充分小半径得圆周及,将二奇点挖去,新边界构成复周线、

、
利用柯西积分公式求积分
设区域得边界就是周线或复周线,函数在内解析，在上连续，则有,即、
例４、计算积分得值,其中
解:因为在上解析,
,
由柯西积分公式得、
设区域得边界就是周线或复周线，函数在内解析,在上连续,则函数在区域内有各阶导数,并且有即、
例5、计算积分,其中就是绕一周得周线、
解：因为在平面上解析，
所以
、
例6、求积分,其中为圆周、
解:

另外,若为周线内部一点,则
(,且为整数)、
应用留数定理求复积分
在复周线或周线所围得区域内，除外解析,在闭域上除外连续，则、
设为得阶极点,，其中在点解析,,则、
例7、计算积分
解：被积函数在圆周得内部只有一阶极点及,

因此,由留数定理可得
、
例8、计算积分、
解:只以为三阶极点,

由留数定理得、
用留数定理计算实积分
某些实得定积分可应用留数定理进行计算,尤其就是对原函数不易直接求得得定积分与反常积分,常就是一个有效得办法,其要点就是将它划归为复变函数得周线积分、
5、1计算型积分
令,则，，，
此时有、
例9、
解:令,则,,
，其中,,
，
应用留数定理得、
若为得偶函数,则之值亦可用上述方法求之,因为此时,仍然令、
例１０、计算(为实数且）
分析:因为,
直接令，则,
于就是、
解:
应用留数定理,当时，
当时，、
5、2计算型积分
例1１、计算、
解:函数在上半平面内只有一个四阶极点，
令，
则

即
故、