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水质评价问题
摘要
本文主要讨论水质的综合评价问题，根据所给材料，结合所建立的数学模型及所给出的评价标准，综合比较了四种水源之间的差异，采用层次分析法对某村各相距500米以上的四口水井水质进行排序，并依据所得出的结论对四种井水进行水质等级的评价。
对于问题一，采用层次分析法对四口井水质进行综合评价。
首先建立递阶层次结构模型，构建出单层次中的所有矩阵和总层次矩阵，然后进行层次单排序及一致性检验和层次总排序及一致性检验，结果表明矩阵的排序具有较满意的一致性，可以接受该分析结果。四口水井水质由好到坏的排序为：东水井、南水井、北水井、西水井。
对于问题二，运用多元分析法中的系统聚类分析法，充分利用了所给的各项数据，依据四口井水的检测数据与各项指标标准化的差值做为矩阵的元素，形成距离矩阵，求出较为准确的结论，画出矩阵图，可得出结论：东井、南井、北井属于第Ⅰ类水质，西井属于第Ⅱ类水质。
关键词：层次分析法、多元分析、系统聚类分析法。
一、问题重述
问题背景
水是地球上一切生物赖以生存也是人类生产生活不可缺少的最基本物质。不同用途的水质要求有不同的质量标准。我国规定，根据供水目的的不同，存在着HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1672364.htm"\t"_blank"饮用水水质标准、农用灌溉水水质标准等。各种工业生产对水质要求的标准也各不相同，依照《地表水环境质量标准》（GB3838-2002）中规定，地面水使用目的和保护目标，中国地面水分五大类：
Ⅰ类水质，水质良好。地下水只需消毒处理，地表水经简易净化处理（如过滤）、消毒后即可供生活饮用者。
Ⅱ类水质，水质受轻度污染。经常规净化处理（如絮凝、沉淀、过滤、消毒等），其水质即可供生活饮用者。
Ⅲ类水质，适用于集中式生活饮用水源地二级保护区、一般鱼类保护区及游泳区。
Ⅳ类水质，适用于一般工业保护区及人体非直接接触的娱乐用水区。
Ⅴ类水质，适用于农业用水区及一般景观要求水域。超过五类水质标准的水体基本上已无使用功能。
问题重述
某村内有各相距500米以上的四口水井，分别位于村东、村西、村南和村北，由于农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染，水质监测资料如附录1所示.
请完成以下问题：
（1）请用2种以上的数学方法对该村的四个井水的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在着异，以及差异产生的原因。（只用了一种方法做）
（2）请对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。（水质分级标准参考附录2，或自己查有关资料）
二、问题分析
该村四口水井是村民饮用水，根据以上提到的《地表水环境质量标准》（GB3838-2002）的标准，必须符合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类水质。因此，只需考虑前三类水质。
对于问题一，该问题要求我们对该村的四个井水水质进行排序，可根据层次分析法分析数据得到若干矩阵，进行整理综合，比较四口井水的水质，对四口井进行水质质量排序。
对于问题二，综合利用所给出的四口井水的检测数据与附录2中所给的数据进行比较，多元分析建立数学模型。
首先观察其所给附录1中监测数据，与附录2水质等级分类中的数据相对照，附录1中PH、溶解氧、高锰酸盐指数、化学需氧量等数据均在附录2中有所对应的数据，可以直接对比，而SO42、Cl-、铁、锰、铜等数据却并未在附录2中有具体分类指标，于是我组通过网络浏览查阅了各种资料，根据《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）可知
集中式生活饮用水地表水源地补充项目标准限值单位：mg/L
项目标准极限硫酸盐（以SO42-计）≦250氧化物（以Cl-计）≦250硝酸盐（以N计）≦10铁≦0.3锰≦0.1利用以上所查标准对SO42、Cl-、铁、锰、铜等数据进行标准化处理，对四口井监测以上项目进行数据比较，作出距离矩阵，对其进行求和，即可对四口井水水质等级进行等级分类。
模型假设
在所研究的时间内，四口井水的自然净化能力相似。
在所研究的时间内，不会出现较大的降水或干旱，四口井水的水质不会相互交换。
在所研究的时间内，四口井水被污染的程度是相似的，且周围的环境不会发生较大的变换。
符号说明
O——目标层：选择井水
C——准则层：所检测的各项指标
P——方案层：东井水、南井水、西井水、北井水
Ci——准则层的i个指标（0≤i≤19）
A=(Cij)19*19——O-C之间的成对比较矩阵，即为判断矩阵
P=(Pi)4*4——P-C之间的矩阵
λmax——判断矩阵A的最大特征根
W——判断矩阵A的最大特征根λmax的特征向量
CI——一致性指标
RI——平均随机一致性指标
CR——一致性比例
Ω——样本集
——Ω×Ω---R+的一个距离函数

模型的建立与求解
问题一
1.1数据的处理
综合评价污染物对水质的影响数据标准化因为评价指标通常是