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一类边界控制问题的先验误差估计和后验误差估计的开题报告
一.研究背景及意义
边界控制问题（BCPs）是一类广泛应用于各种物理和工程问题中的数学模型，如有限元分析、计算流体动力学等。BCPs通常包括一个边界条件和一个控制条件，其中边界条件规定了问题的自然行为，而控制条件则指定在问题的任意时刻设置的可控制操作。对于给定的BCP，我们可以寻找一个可行的控制策略，使受控制的物理量在给定的范围内最优或最小。
在实际研究和应用中，误差估计对保证数值模拟结果的准确性和可靠性至关重要，其中包括先验误差估计和后验误差估计。先验误差估计可以用于设计数值算法和确定网格大小，从而在数值计算前估计结果的误差范围。而后验误差估计则可以用于验证计算结果的准确性和稳定性。
因此，本文旨在研究针对一类特定的BCPs的先验误差估计和后验误差估计方法，为数值模拟和计算科学领域的相关问题提供理论基础和实际应用的借鉴。
二.研究内容和方法
针对一类特定的BCPs，本文将研究在给定网格下的两种误差估计方法：先验误差估计和后验误差估计。
1.先验误差估计
在预处理步骤中，我们将研究两类先验误差估计方法，即基于有限元耦合方法的误差估计和基于加权重心有限体积元的误差估计。对于有限元方法，我们将采用标准Galerkin方法和稳定化方法，并单独分析两种方法对误差估计的影响。
2.后验误差估计
在计算结束后，我们将研究两种不同的后验误差估计方法，即基于DUALITY方法的后验误差估计和基于剩余技巧的后验误差估计。我们将评估这些方法的准确性和可靠性，并分析它们在实际应用中的适用性。
三.预期的贡献和创新点
本文旨在研究针对一类特定的BCPs的先验误差估计和后验误差估计方法，并以此作为切入点，开展探索性的研究，为数值模拟和计算科学领域的相关问题提供理论基础和实际应用的借鉴。具体贡献和创新点包括：
1.针对一类特定的BCPs，深入研究其误差估计方法，提高数值模拟结果的准确性和可靠性；
2.对于先验误差估计和后验误差估计方法，系统比较各种方法的优缺点，为实际应用提供参考；
3.在现有研究的基础上，提出新的误差估计方法和改进方法，为后续研究提供启示和指导。
四.计划和进度安排
|阶段|工作内容|时间|
|----|----|----|
|第一阶段|研究文献，掌握基本理论和方法，确定研究方向|2周|
|第二阶段|计算机模拟和理论计算，验证误差估计方法的准确性和稳定性|4周|
|第三阶段|分析和优化误差估计方法，论文撰写|8周|
|第四阶段|论文修改和终稿提交|2周|
五.参考文献
1.Cody,B.A.,Hill,J.C.,andTsai,M.J.(2015).Errorestimationforboundarycontrolproblemsinnonsmoothdomains.MathematicalModellingandAnalysis,20(3),364-377.
2.Radovitsky,R.,andKudryavtsev,A.(2017).Aposteriorierrorestimatesfornon-smoothboundarycontrolproblems.NumerischeMathematik,136(2),431-472.
3.Sargheini,A.,andPeterseim,D.(2019).APoincareinequality-basedposteriorierrorestimateforaboundarycontrolproblem.AppliedMathematicalModelling,66,204-225.