张量分析(本科).doc

第一节第二节第三节

问题的提出矢量的基本运算坐标变换及张量的定义

自然法则与坐标无关,坐标系的引入方便自然法则与坐标无关,分析,但也掩盖了物理本质;分析,但也掩盖了物理本质;坐标系引入后的相关表达式冗长

引入张量方法

§A-1指标符号

x1,x2xn

记作xi(i=1,2,n)

称为指标;下标符号i称为指标;n为维数可以是下标,指标i可以是下标,如xi也可以是上标,也可以是上标,如xi指标的取值范围如不作说明,均表示从指标的取值范围如不作说明,均表示从1~3

定义这类符号系统为指标符号,定义这类符号系统为指标符号,一般采用下标

xi(i=1,2,3)～x1,x2,x3～x,y,zui(i=1,2,3)～u1,u2,u3～u,v,w

σ11σ12σ13σxτxyτxzσ～τσij(i,j=1,2,3)～21σ22σ23σyτyzyxσ31σ32σ33τzxτzyσz

一.若干约定哑标和自由标1.Einstein求和约定求和约定凡在某一项内,重复一次且仅重复一次的凡在某一项内,重复一次且仅重复一次的指标,表示对该指标在它的取值范围内求和,指标,表示对该指标在它的取值范围内求和,并称这样的指标为哑指标哑指标.并称这样的指标为哑指标.如:

aixi(i=1,2,n)na1x1+a2x2++anxn=∑i=1aixi
又如:又如:
σii=σjj=σ11+σ22+σ33=σx+σy+σz

123

求和约定仅对字母指标有效,求和约定仅对字母指标有效,如σ33=σz重复不止一次的指标,重复不止一次的指标,求和约定失败同一项内二对哑标应使用不同指标,同一项内二对哑标应使用不同指标,如

aijxixj=∑i=1∑i=1aijxixj
33

4

哑标可以换用不同的字母指标

2.求导记号的缩写约定2.求导记号的缩写约定

(),j=()xj

uiui,j=xj

()(),ij=xixj
2

uk,ij

uk=xixj
2

3.自由标3.自由标定义:凡在同一项内不重复出现的指标.定义:凡在同一项内不重复出现的指标.如

ajixi=bj
j=1

j为自由标

a11x1+a12x2+a13x3=b1

1

同一个方程中各项自由标必须相同不能改变某一项的自由标,但所有项的不能改变某一项的自由标,自由标可以改变
如:

2

ajixi=bj

akixi=bjakixi=bk

wrongright

二.克罗内克(Kronecker-δ)符号克罗内克()定义:定义

1δij=0
由定义

当i=j当i≠j

100δ11δ12δ13I=010=δ21δ22δ23=δij001δ31δ32δ33

A1δijAi=δ1jA1+δ2jA2+δ3jA3=A2A3=Aj

j=1j=2j=3

ds2=dx2+dy2+dz2=dxidxi=δijdxidxj

性质:性质:δijδij=δii=δ11+δ22+δ33=3
Aδij=A=Ajj=A+A+Aijii112233Aδjk=Aijik

δijδjk=δikδijδjkδkl=δil
xi=xi,j=δijxjaii=δjkajk

§A-2张量的定义和代数运算
1.矢量的基本运算

矢量a分量ai

a=a1e1+a2e2+a3e3=aiei
基矢量e1e2e3(3个坐标方向的单位矢量)

说明
1

任意矢量可以表示为基矢量的线性组合基矢量不是唯一的

2

点积
1

基矢量点积

eiej=δij
2

任意两矢量的点积

ab=aieibjej=aibjδij=aibi=ajbj
3

矢量的基本运算还有叉积,混合积等

并矢(并乘)并矢(并乘)

定义:定义:

ab=aieibjej=aibjeiej
展开共9项,展开共项

eiej

可视为并矢的基

aibj为并矢的分解系数或分量

2.平面笛卡儿坐标系旋转变换

x2
'x2

'x1

x2
'x2

e2'

e2e'1

'x1

θ

e1x1

x1

x2
'x2

'x1

x2
'x2

e2'

e2e1'
θ

'x1

x1

e1x1

令:αi'j=cos(ei',ej)

(i',j=1,2)

则:i'jα

[]

cos(e1',e1)cos(e1',e2)cosθsinθ==cos(e2',e1)cos(e2',e2)sinθcosθ

x1'α1'1α1'2x1x1()于是:==αi'jxx22'α2'1α2'2x2

x1α1