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模糊聚类分析方法

聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。
一、模糊聚类分析的一般步骤

1、第一步：数据标准化[9]
（1）数据矩阵
设论域为被分类对象，每个对象又有个指标表示其性状，即

，

于是，得到原始数据矩阵为

。

其中表示第个分类对象的第个指标的原始数据。

（2）数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间上。通常有以下几种变换：

①平移·标准差变换

其中，。

经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但是，再用得到的还不一定在区间上。

②平移·极差变换

，
显然有，而且也消除了量纲的影响。

③对数变换

取对数以缩小变量间的数量级。

2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵）

设论域，，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，与的相似程度。确定的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。

（1）相似系数法

①夹角余弦法

。

②最大最小法

。

③算术平均最小法

。

④几何平均最小法

。

以上3种方法中要求，否则也要做适当变换。

⑤数量积法

，

其中。

⑥相关系数法

，

其中，。

⑦指数相似系数法

，

其中，

而。
（2）距离法

①直接距离法

，

其中为适当选取的参数，使得，表示他们之间的距离。经常用的距离有

海明距离

。

欧几里得距离

。

切比雪夫距离

。

②倒数距离法

。

其中为适当选取的参数，使得。

③指数距离法

。

3、第三步：聚类（求动态聚类图）
（1）基于模糊等价矩阵聚类方法

①传递闭包法

根据标定所得的模糊矩阵还要将其改造称模糊等价矩阵。用二次方法求的传递闭包，即=。再让由大变小，就可形成动态聚类图。

②布尔矩阵法
布尔矩阵法的理论依据是下面的定理：

设是上的一个相似的布尔矩阵，则具有传递性（当是等价布尔矩阵时）矩阵在任一排列下的矩阵都没有形如的特殊子矩阵。

布尔矩阵法的具体步骤如下：

①求模糊相似矩阵的截矩阵.

②若按定理2.2.1判定为等价的，则由可得在水平上的分类，若判定为不等价，则在某一排列下有上述形式的特殊子矩阵，此时只要将其中特殊子矩阵的0一律改成1直到不再产生上述形式的子矩阵即可。如此得到的为等价矩阵。因此，由可得水平上的分类。

（2）直接聚类法

所谓直接聚类法，是指在建立模糊相似矩阵之后，不去求传递闭包，也不用布尔矩阵法，而是直接从模糊相似矩阵出发求得聚类图。其步骤如下：

①取（最大值），对每个作相似类，且

=，

即将满足的与放在一类，构成相似类。相似类与等价类的不同之处是，不同的相似类可能有公共元素，即可出现

,,.

此时只要将有公共元素的相似类合并，即可得水平上的等价分类。

②取为次大值，从中直接找出相似度为的元素对（即），将对应于的等价分类中所在的类与所在的类合并，将所有的这些情况合并后，即得到对应于的等价分类。

③取为第三大值，从中直接找出相似度为的元素对（即），将对应于的等价分类中所在的类与所在的类合并，将所有的这些情况合并后，即得到对应于的等价分类。

④以此类推，直到合并到成为一类为止。

（3）最大树法
所谓最大树法，就是画出以被分类元素为顶点，以相似矩阵R的元素为权重的一颗最大的树，取定，砍断权重低于的枝，得到一个不连通的图，各个连通的分支便构成了在水平上的分类。

下面介绍求最大树德克鲁克法

设，先画出所有顶点，从模糊相似矩阵R中按从大到小的顺序依次画枝，并标上权重，要求不产生圈，直到所有顶点连通为止，这就得到一颗最大树（最大树可以不唯一）。
二、最佳阈值的确定

在模糊聚类分析中对于各个不同的，可得到不同的分类，许多实际问题需要选择某个阈值，确定样本的一个具体分类，这就提出了如何确定阈值的问题。一般有以下两个方法：

①按实际需要，在动态聚类图中，调整的值以得绞实钡姆掷啵恍枰孪茸既返毓兰坪醚居Ψ殖杉咐唷５比唬部捎删哂蟹岣痪榈淖医岷献ㄒ抵度范ㄣ兄担佣贸鲈谒缴系牡燃鄯掷?
②用F统计量确定最佳值。[11]
设论域为样本空间（样本总数为），而每个样本有个特征：，。于是得到原始数据矩阵，如下表所