几何概型讲义.doc

几何概型[知识点：知识点]知识点
1.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件2.特别提醒：基本事件有如下两个特点：○任何两个基本事件都是互斥的；1○任何事件都可以表示成基本事件的和。22．所有基本事件的全体，叫做样本空间，用Ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则Ω={正面，反面}。3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的
1可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是n，这种事件叫等可能性事件
新疆王新敞
奎屯

古典概型的两个共同特点：○有限性，1即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的；○等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。24．古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率
P(A)=mn
新疆王新敞奎屯

5.几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。6.几何概型的特点：○试验的结果是无限不可数的；1○每个结果出现的可能性相等。2

构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）7．几何概型的概率公式：P（A）=
8.用几何概型解题，主要运用转化，数形结合等重要的数学思想方法，解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

[典例：典例]典例
A1.如图，∠AOB=60，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，
o

试求：(1)?AOC为钝角三角形的概率；(2)?AOC为锐角三角形的概率．
解：如图，由平面几何知识：当

O

D

C

E

B

AD⊥OB时，OD=1；当OA⊥AE时，OE=4，BE=1．（１）当且仅当点C在线段OD或BE上时，?AOC为钝角三角形OD+EB1+1记＂?AOC为钝角三角形＂为事件M，则P(M)===0.4OB5即?AOC为钝角三角形的概率为0.4．（２）当且仅当点C在线段DE上时，?AOC为锐角三角，记＂?AOC为锐角三角＂为事件N
1

，则

P(N)=

DE3==0.6即?AOC为锐角三角形的概率为0.6．OB5

2.甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x为甲到达时间，y为乙到达时间.建立坐标系，如图|x?y|≤15时可相见，即阴影部分P=

602?4527=21660

3.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径2倍的概率。
∩

解：|AB|=|AC|=

2R.∴P=

BDC
圆周

=

πR1=2πR2

4.在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求?ABC是锐角三角形的概率。解法1：记?ABC的三内角分别为α,β，π?α?β，事件A表示“?ABC是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合?={(α,β)|0<α,β<π,0<α+β<π}

ππ且α+β>22ππ所以事件A构成集合A={(α,β)|α+β>,0<α,β<}221π2
因为?ABC是锐角三角形的条件是0<α,β<由图可知，所求概率为P(A)=

()1A的面积22==。124?的面积π2

当解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，B、1、2为单位圆与坐标轴的交点，?ABCA、CC
2

为锐角三角形，记为事件A。则当C点在劣弧C1C2上运动时，?ABC即为锐角三角形，即

1×2π14事件A发生，所以P(A)==2π4
5.将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．解：设M=“3段构成三角形”x，y分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为．

L?x?y．?={(x，y)|0<x<L，<y<L，<x+y<L}．00
由题意，x，y，L?x?y要构成三角形，须有x+y>L?x?y，即x+y>

1；2

x+(L?x?y)>y，即y<
即x<

L；y+(L?x?y)>x，2

L．2

故M=?(x，y)|x+y>如图

??

LLL?，y<，x<?．222?

1

所示，可知所求概率为
2

1?L?·?M的面积2?2?1P(M)==?2=．L?的面积42
6.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AC＝7.现在向该矩形内随机投一点P，求

∠APB>900时的概率。

A

B

PDC

解：挖掘出点P必须落在以线段AB为直径的半圆内