扭摆法测钢丝的切变模量.docx

材料受外力作用时必然会发生形变，弹性模量是描述金属材料抵抗形变能力的物理量。在切向外力作用下，材料切向发生形变，根据胡克定律，切向应力与应变之比称为剪切弹性模量，也称切变膜量。
本实验用扭摆法测量钢丝的切变膜量。实验中将涉及较多的长度量的测量，应根据不同的测量对象，选择不同精度的测量仪器。本实验还将涉及振动周期测量，要求周期的测量须有较高的准确度。
【实验目的】
1．学会用扭摆法测钢丝的切变模量。
2．学会用MUJ-5B计时计数测速仪测量周期的方法。
【实验器材】
钢丝、扭摆、MUJ-5B计时计数测速仪、游标卡尺、千分尺、钢卷尺等。
图5-3-1长方形弹性体
【实验原理】
取一长方形弹性体如图5-3-1所示，使其下平面固定，在它的上表面（面积为）施加一个外力，物体将发生形变成为斜的平行六面体，这种形变称为切变。形变后距底面不同距离处的形变量不同，但相对性变量相等，即：

式中称为切变角，单位：弧度。当值较小时，。实验表明，在弹性限度内，切应力与切变角成正比，即
（5-3-1）
图5-3-2扭摆结构示意图
式中比例系数为切变模量，单位：N·m-2。是描述物体切变弹性的物理量，即：切变模量，是由具体的材料所确定的常数。如值大，表明该材料在受外力作用时，其切应变小。
实验中将一金属钢丝上端固定，下端与一水平金属圆盘中心相连，这就构成一扭摆，如图5-3-2所示。可把扭摆的悬丝看作长度为、直径为的圆柱形弹性固体，上端固定，下端可以绕轴扭转。在切向外力作用下，下端绕过角，切向发生形变，悬丝侧面转过，此时悬丝受一弹性恢复力矩。弹性恢复力矩与转角的关系为
（5-3-2）
式中的称为扭转系数。
悬丝发生形变后，在它内部就会引起一个弹性力，促使物体恢复原状，并与迫使它形变的那个外力维持平衡，则
（5-3-3）
假定在悬丝中切出一个半径为、厚度为、长度为的圆筒形体积元，如图5-3-3b所示。因发生切向形变，底周上的点转至位置，其侧面转过角，该体积元下端面的恢复力矩即为
（5-3-4）
设圆弧PP＇的弧长为。如果（即），则。另一方面，又有，因此，即
（5-3-5）
故
（5-3-6）
将上式积分，得悬丝下端产生的总的恢复力矩为
（5-3-7）
因，故
（5-3-8）
a)b)
图5-3-3圆筒形体积元示意图
先在扭摆的圆盘上施加一外力矩，使其绕中心轴扭转一角度，由于悬丝上端固定，所以悬丝因扭转产生弹性恢复力矩。外力撤去后，在弹性恢复力矩作用下圆盘绕中心轴线作往复扭动。忽略空气阻力矩的作用，根据刚体转动定律有
（5-3-9）
式中为刚体对悬线轴的转动惯量。
由式（5-3-2）和式（5-3-9）可得扭摆的运动方程为
（5-3-10）
可见圆盘作简谐振动，其振动周期为
（5-3-11）
如果测得、、和的值，可由式（5-3-8）和式（5-3-11）求得切变模量。
由于扭摆的圆盘带有夹具，这给测量带来困难，故在测出后，可利用一个对其质心轴的转动惯量为已知的物体将它附加到圆盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。本实验的附加物体为一圆环。设圆环对其质心轴的转动惯量为，则的大小为
（5-3-12）
式中为圆环质量，和分别为圆环的内、外直径。在圆盘上放置圆环后，总的转动惯量为+，其振动周期为
（5-3-13）
由式（5-3-11）和式（5-3-13）消去得
（5-3-14）
由式（5-3-8）和式（5-3-14）得
（5-3-15）
【实验内容】
1．用物理天平称出圆环质量。
2．用游标卡尺测出圆环的内、外直径和，分别测量5次。
3．用千分尺测出钢丝直径，在钢丝的不同部位进行测量，共测量5次。
4．装配扭摆，使钢丝与作为扭摆的圆盘面垂直，圆环能方便地置于圆盘上。
5．用米尺测出钢丝的有效长度。
6．测量底盘的振动周期。首先调整底盘水平，然后扭动圆盘使圆盘绕竖直轴扭动（注意：扭摆的中心不能晃动），用MUJ-5B计时计数测速仪（使用方法参见实验5-1仪器介绍）测量其振动周期。30个周期记一次时间，共测量5次。
7．在底盘上加上圆环，重复以上操作，测出其振动周期。30个周期记一次时间，共测量5次。
8．将多次测量数据记录在数据表内。实验数据表见表5-3-1。
表5-3-1多次测量实验数据记录表
序号钢丝直径
/mm圆环内直径/mm圆环外直径
/mm圆盘周期
/s复合体周期
/s12345平均值【数据处理】
1．计算各直接测量量的平均值及不确定度。
2．将各测量值代入式（5-3-15），求出钢丝的切变模量。
3．根据不确定度传递公式计算切变模量的不确定度，并正确表示测量结果。
【思考题】
1．如果扭摆的幅角为，结合钢丝长度和直径，分析一下测试是否满足的条件？
2．为什么要选用转动惯量较大的钢环附加在扭摆底盘上？