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卡尔曼滤波器介绍.doc

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卡尔曼滤波器介绍 GregWelch 1 andGaryBishop 2 TR95-041 DepartmentofComputerScience UniversityofNorthCarolinaatChapelHill 3 ChapelHill,NC27599-3175 翻译：姚旭晨 更新日期:2006年7月24日，星期一 中文版更新日期：2007年1月8日，星期一 摘要 1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波 问题的论文。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器 已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。 卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述。它们提供了一种高效可 计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。卡尔曼滤波 器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能 估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。 这篇文章介绍了离散卡尔曼理论和实用方法，包括卡尔曼滤波器及 其衍生：扩展卡尔曼滤波器的描述和讨论，并给出了一个相对简单的 带图实例。 1 welch@cs.unc.edu,http://www.cs.unc.edu/?welch 2 gb@cs.unc.edu,http://www.cs.unc.edu/?gb 3 北卡罗来纳大学教堂山分校，译者注。 1 Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍2 1离散卡尔曼滤波器 1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问 题的论文[Kalman60]。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼 滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。 [Maybeck79]的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以 参考[Sorenson70]，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。更广泛的参 考包括[Gelb74,Grewal93,Maybeck79,Lewis86,Brown92,Jacobs93]。 被估计的过程信号 卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量x∈ n 。这个离散时 间过程由以下离散随机差分方程描述： x k =Ax k?1 +Bu k?1 +w k?1 ,(1.1) 定义观测变量z∈ m ，得到量测方程： z k =Hx k +v k .(1.2) 随机信号w k 和v k 分别表示过程激励噪声 1 和观测噪声。假设它们为相 互独立，正态分布的白色噪声： p(w)?N(0,Q),(1.3) p(v)?N(0,R).(1.4) 实际系统中，过程激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R可 能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。 当控制函数u k?1 或过程激励噪声w k?1 为零时，差分方程1.1中的n×n 阶增益矩阵A将上一时刻k?1的状态线性映射到当前时刻k的状态。实际 中A可能随时间变化，但在这儿假设为常数。n×l阶矩阵B代表可选的控 制输入u∈ l 的增益。量测方程1.2中的m×n阶矩阵H表示状态变量x k 对测量变量z k 的增益。实际中H可能随时间变化，但在这儿假设为常数。 滤波器的计算原型 定义?x ? k ∈ n （ ? 代表先验，?代表估计）为在已知第k步以前状态情 况下第k步的先验状态估计。定义?x k ∈ n 为已知测量变量z k 时第k步的 后验状态估计。由此定义先验估计误差和后验估计误差： e ? k ≡x k ??x ? k , e k ≡x k ??x k 1 原文为processnoise，本该翻译作过程噪声，由时间序列信号模型的观点，平稳随机序 列可以看成是由典型噪声源激励线性系统产生，故译作过程激励噪声。 UNC-ChapelHill,TR95-041,July24,2006 Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍3 先验估计误差的协方差为： P ? k =E[e ? k e ? k T ],(1.5) 后验估计误差的协方差为： P k =E[e k e k T ],(1.6) 式1.7构造了卡尔曼滤波器的表达式：先验估计?x ? k 和加权的测量变量 z k 及其预测H?x ? k 之差的线性组合构成了后验状态估计?x k 。式1.7的理论解 释请参看“滤波器的概率原型”一节。 ?x k =?x ? k +K(z k ?H?x ? k )(1.7) 式1.