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卡尔曼滤波器介绍

摘要
在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。
Kalman滤波器是一套数学等式，它提供了一种有效的以最小均方误差来估计系统状态的计算(递归的)方法。它在以下几方面是非常强大的：它支持过去、现在、甚至将来估计，甚至在系统准确模型也未知的情况下。
本文的目的是提供一种对离散的Kalman滤波器的实用介绍。这些介绍包括对基本离散kalman滤波器、起源和与之相关的简单(有形)的带有真实数字和结果的描述和讨论。
1、离散的kalman滤波器
在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。关于kalman滤波器一般方法的友好介绍可以在〔maybeck79〕的Chapter.1中找到，但是更完整部分的讨论能在〔Sorenson70〕中发现，它还包括许多有趣的历史解释。在〔Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；jacobs93〕中有更多参考。
估值过程
Kalman滤波器解决估计离散时间控制过程的状态X∈Rn的一般性问题，定义线性随机差分方程

其中，测量值Z∈Rm，定义为

随机变量WK和VK各自表示系统噪声和测量噪声，我们假定它们为相互独立的、白噪声且为正常概率分布

在实际中，系统噪声协方差矩阵Q和测量噪声协方差矩阵R可能随过程和测量时间而改变，无论怎样，我们在这里假定它们是常量。
在差分方程（1.1）中，n×n阶矩阵A与前一时刻（K－1）和当前时刻K相关，这里缺少传递函数或系统噪声。注意的是，在实际中，A可能随各自时刻改变，但这里我们假定其为常量，n×l阶矩阵R与非强制性输入U∈Rl和状态x有关，在测量公式（1.2）中，m×n阶矩阵H与状态及测量值ZK有关，在实际中，H可能随各自过程或测量时刻而改变，这里假定它们是常数。
滤波器计算初步
我们定义XK－∈Rn（注意负号）为k时刻及系统k时刻以前数据的priori状态估计，定义XK－∈Rn在得到测量值ZK的k时刻的posteriori状态估计。我们这时定义前后两状态的估计误差为

这时priori估计协方差为

并且posteriori估计协方误差为

在推导kalman滤波器方程时，我们开始找到Posteriori状态估计XK与priori估计XK－和实际测量值ZK与预测值Hxk－之差的加权的线性组合的公式，如式（1.7）。对于（1.7）的一些调整在下面的“滤波器的概率初步”中给出。

式（1.7）中（ZK－Hxk）的差叫测量协方差或叫余数，这余数反映的是预测值Hxk与实际值Zk的不合。一个零余数意味着这两个数完全一致。
式（1.7）中n×m阶矩阵选择Posteriori协方误差的最小增益或混合因子，这最小值可以获得：首先代式（1.7）到上面定义的ek，代入到（1.6）中，得到期望值，然后然后推导期望结果K的迹，并设其为0，最后解得K。对于更详细的看〔Maybeck79；Brown92；Jacobs93〕。最小化式（1.6）的结果K的一种形式如下

从（1.8）中，我们可以看到测量均方误差R趋于0时，增益K加权余数会越大，尤其

另一方面，当Priori估计协方误差PK－趋于0时，增益k加权余数越小，尤其

考虑加权K的另一种方法：当测量协方误差R趋于0时，真实测量值ZK越来越真实，这时，预测值Hxk－越来越不真实，另一方面，当Priori估计协方误差PK－趋于0时，真实测量值Zk越来越不真实，预测值Hxk－越来越不真实。

滤波器概率初步
式（1.7）的调整来源制约于在先前测量值ZK（Bayes准则）上Priori估计XK－的概率。此时，我们足够指出：Kalman滤波器保持了分布状态的一、二阶矩。

式（1.7）的Posteriori状态估计反映了分布状态的均值（一阶矩）——这是在条件（1.3）和（1.4）同时满足的自然分布。Posteriori估计协方误差（1.6）反映分布状态的变化（二阶非中心矩），换之，

对于Kalman滤波器的更详细的概率初步，可以参考〔Maybeck79；Brown92；Jacobs93〕。
离散Kalman滤波器算法
我们从大体概述了一种包含离散Kalman滤波器形式的高级算法来开始这部分（看以前脚注）。在描述完它的高级目的之后，我们将在滤波器的本文集中到特定的公式和应用。
Kalman滤波器是用反馈控制的形式来估计过程：在当时滤波器估计过程状态，