最小相位系统.ppt

控制工程基础7.6采样系统的校正
图7－6是两个系统的输出曲线对比图，图中：
曲线1只用1拍达到稳态
曲线2用了2拍达到稳态
曲线1所代表的系统称为最少拍系统

从最少拍系统的概念
可知，最少拍系统应满足
两个条件：
①稳态误差为零
②调节时间最短

下面以这两个条件为依据，介绍最少拍系统的
设计方法
图7－7是典型的采样系统结构图
图中：
D(Z)是数字控制器
G(Z)是系统等效的脉冲传递函数

2．先讨论如何使系统的稳态误差为零
由图可知，误差信号E(Z)为

（7-10）
根据终值定理可求得系统的稳态误差为

（7-11）显然，稳态误差的大小与输入信号R(Z)的形式以
及闭环脉冲传递函数GB(Z)的形式有，分析R(Z)
一般R(Z)可表示为：

（7-12）

式中，P(Z)是Z的多项式，m≥1，例如

单位阶跃信号

单位斜坡信号

单位抛物线信号

因此，稳态误差又可表示为
（7—13）

由式（7-13）可知，当Z→1时，等式右边第1项（1－Z－1）＝0，而第2项＝∞，又因为第2项分母中的m≥1，所以，为了使系统的稳态误差为零，第3项应具有如下形式：
1－GB(Z)＝（1－Z－1）n（7-14）
且n≥m，才能抵消第2项分母中（1－Z－1）m项的影响，使稳态误差为零。

结论1：为使系统稳态误差为零，应选择：
1－GB(Z)＝（1－Z－1）n，n≥m，即
GB(Z)＝1－（1－Z－1）n（7-15）

3．再讨论如何使调节时间最短
我们知道，误差函数可以表示成幂级数的形式
即，根据Z变换的定义：
E(Z)＝R(Z)－C(Z)＝e(0T)Z－0＋e(1T)Z－1＋e(2T)Z－2＋
…＋e(nT)Z－n＋…（7-16）
注意：E(Z)表达式中的各项分别表示不同采样时
刻，R(Z)和C(Z)之间的误差。
显然，E(Z)幂级数的项越少，说明调节时间越短。
若E(Z)只含2项，说明系统经过2个周期误差就为0由式（7－10）E(Z)＝R(Z)[1－GB(Z)]
可知1－GB(Z)的项也是越少越好
由式（7－14）[1－GB(Z)]＝（1－Z－1）n
所以幂n越小，E(Z)所含项越少
但是，根据前面的分析结论，n必须≥m，所以只能取：n＝m，由此可得
结论2：为使系统调节时间最短，应选择：
1－GB(Z)＝（1－Z－1）m，即
GB(Z)＝1－（1－Z－1）m（7-17）
结论2可保证系统的稳态误差为零，并且调节时间最短。4．数字控制器D(Z)的计算公式
由图7－7可得

（7-18）
由上式解得

（7-19）
将式（7－17）代入上式得

（7-20）
式（7－19）和式（7－20）是计算数字控制器D(Z)的通用公式，在系统传递函数G(Z)确定的情况下，它们只与输入信号的形式有关。
5．举例
由式（7－12）可知：

①单位阶跃输入：m＝1，P(Z)＝1
由式（7－17）得GB(Z)＝Z－1，（7-21）
由式（7－20）得

（7-22）
②单位斜坡输入：m＝2，P(Z)＝TZ－1
由式（7－17）得GB(Z)＝1－（1－Z－1）2（7-23）
由式（7－20）得
（7-24）课堂练习：
已知单位反馈系统的开环传递函数为零阶保持器与
惯性环节1/(s+1)的串联。
1.在单位斜坡信号输入时，确定系统D(z)的表达式；
2.当T=0.5时，求系统的稳态误差；
3.求系统输出c(t)的采样脉冲表达式。