磁悬浮控制系统设计——自动控制原理大作业.docx

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原题
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物理背景描述
对于上图所示的磁悬浮系统，如果钢球在参考位置附近有很小的位移时，影像探测器上的电压e（伏特）由球的位移x（米）决定，即e=100x。
作用在钢球上向上的力f（牛顿）由电流i（安培）以及位移共同决定，其近似关系为f=0.5i+20x
功率放大器为压流转换装置，其输入输出关系为i=u+V0。
钢球质量m=20（克），地球表面的重力加速度为g=9.8（牛顿/千克）。
其中V0为恒定偏置电压，以保持钢球处于平衡状态时的位移x=0。
问题的描述
以电压u为控制信号，位移x为输出信号，建立系统的传递函数；以影像探测器输出电压e为反馈信号，并给定参考位移（输入）信号r，构成闭环负反馈系统。试设计适当的控制器，使得闭环系统满足下列性能指标：
跟踪阶跃信号的稳态误差为零，跟踪单位斜坡信号的稳态误差小于0.01；
单位阶跃响应的超调量不大于30%，过渡过程时间不大于1秒（∆=2%）。
求控制器的传递函数。
问题推导
当x=0，r=0时：

e=0，u=0;
i=V0;
f=0.5V0;
0.5V0-mg=md2xdt2=0；
mg=0.5V0
系统闭环传递函数：

u=r-e；
i=r-e+V0=r+V0-100x;
f=0.5r+0.5V0-50x+20x=0.5r+0.5V0-30x;
F=f-mg=0.5r+0.5V0-30x-mg=md2xdt2;
md2xdt2+30x=0.5r+0.5V0-mg;（mg=0.5r）
md2xdt2+30x=0.5r;取拉氏变换
Gs=x(s)r(s)=0.5ms2+30;（m=0.02kg）
Gs=25s2+1500
3．系统开环传递函数
前向通道传递函数：
F=f-mg=md2xdt2;
20x+0.5i-mg=md2xdt2;
20x+0.5u+0.5V0-mg=md2xdt2;（mg=0.5r）
md2xdt2-20x=0.5r;取拉氏变换
Gs=x(s)r(s)=0.5ms2-20;（m=0.02kg）
Gs=25s2-1000

开环传递函数：
Gs=e*25s2-1000=2500s2-1000
问题求解
原问题分析
为满足跟踪阶跃信号的稳态误差为零，则应加一积分环节。则开环发大传递函数应为：Gs=25ks3-1000s
其根轨迹如下图所示：

此开环传递函数有三个极点：p1=31.6228，p2=0，p3=-31.6228。
从P1点出发的根轨迹，严重影响到系统的稳定性。无论系统有三条还是三条以上根轨迹，总有一条根轨迹全部落在右半平面，系统总是不稳定的；尽管用一个零点与p1构成一对偶极子也很难消除其对系统的影响。可以先看一下1*e31.6228t曲线。
1*e31.6228t的增长曲线如下：

1*e31.6228t的增长斜率太大，很难进行调节。
确定控制环节的放大倍数k

因此设想对Gs=25s2-1000加局部反馈校正以改变极点位置。

若反馈环节的传递函数为：as+b

则：
Gs=25s2+25as+25b-1000;

可以写成：
Gs=25ks(s2+p1+p2s+p1p2);

闭环传递函数为：
Gs=25kss2+p1+p2s+p1p2+25kh

偏差传递函数为：

Es=ss2+p1+p2s+p1p2ss2+p1+p2s+p1p2+25kh;
ess=lims→0s*Es*R(s);
ess=1100lims→0s2s2+p1+p2s+p1p2ss2+p1+p2s+p1p2+25kh*1s2;
ess=p1p22500kh=1100;
25kh=p1p2;
kh=125p1p2=b-40

确定反馈环节参数a、b
单位阶跃响应的超调量不大于30%，过渡过程时间不大于1秒（∆=2%）。

ωnξ>4;ζ>0.36;（以二阶系统公式做计算）
γ≥48°;ωc≥8.9;（以高阶系统经验公式计算）
取：-ωnξ=-6；ξ=0.5；

考虑到根轨迹渐近线为60°、180°、-60°。应把更小的一个根放到足够小的位置，以避免其根轨迹上的根影响主导极点，同时考虑幅角条件。

幅角条件：
180°-∠A+∠A-p1+∠A-p2=2l+1*180°;
选：
p1=-18;
则：
P2=-51。
25a=18+51=69；
25b-1000=18*51=918；
则：
Kh=918*4；
k=9.18*4；
a=2.76；b=76.72。
设计控制校正环节
开环传递函数为：
Gs=25*4*918s（s2+69s+918）;

其波特图为：

考虑可以加一个串联迟后校正：

1．∠Gjω=-180°+γ+2°=130°;
取对应的角频率ωc=10。
2．由bode图得20lgGs=20db，但真