磁悬浮控制系统设计——自动控制原理大作业.pdf

原题

片

一个磁悬浮系统的控制问题

物理背景描述

对于上图所示的磁悬浮系统，如果钢球在参考位置附近有很小的位移时，影像探测器上的
电压e（伏特）由球的位移x（米）决定，即e=100x。
作用在钢球上向上的力f（牛顿）由电流i（安培）以及位移共同决定，其近似关系为
f=0.5i+20x
功率放大器为压流转换装置，其输入输出关系为i=11+VOo
钢球质量m=20（克），地球表面的重力加速度为g=9.8（牛顿/T•克）。
其中V0为恒定偏置电压，以保持钢球处于平衡状态时的位移x=0o

问题的描述

以电压u为控制信号，位移x为输出信号，建立系统的传递函数；以影像探测器输出电压e
为反馈信号，并给定参考位移（输入）信号r,构成闭环负反馈系统。试设计适当的控制器，使得
闭环系统满足下列性能指标：
跟踪阶跃信号的稳态误差为零，跟踪单位斜坡信号的稳态误差小于0.01；
单位阶跃响应的超调量不人于30%,过渡过程时间不犬于1秒（A=2%）o
求控制器的传递函数。

问题推导

1.当x=0,r=0时:

e=0,u=0;
—i=V0;
—f=0.5V0;

0.5V0-mg=m黯=0；

mg=0.5V0
2.系统闭环传递函数：

u=r—e；
i=r—e+VO=r+VO—100x;
—f=0.5r+0.5V0一50x+20x=0.5r+0.5V0一3Ox;

A2
F=f—mg=0・5r+0.5V0—30x—Xmg=m諺；
2
d
m丽+30x=0.5r+0.5V0—mg;(mg=0.5r)

m黯+30x=0.5r;取拉氏变换

班
G(s)s)_0・5.(m=0.02kg)
r(s)ms2+30/

TG(s)=25
S2+1500

3.系统开环传递函数
前向通道传递函数:

—d2x
20x+0.5img=m丽;

20x+0.5u+0.5V0—mg=m(mg=0.5r)

m黯—20x=0.5r;取拉氏变换

0.5
—G(s)=x(s)(m=0.02kg)
r(s)ms2-20,

TG(s)=25
s2-1000

开坏传递函数:

1

G(s)=e*252500
$2-1000$2-1000

问题求解

i问题分析

为满足跟踪阶跃信号的稳态误差为零，则应加一积分坏节。则开坏发大传递函数应为:

其根轨迹如下图所示:

RootLocus

200

150

100

SO
te0

--50

-100

-150

「200
-200・150-100・50050100150
RealAYs：

此开坏传递函数有三个极点：pl=31.6228,p2=0,p3=-31.6228o
从Pl点出发的根轨迹，严重影响到系统的稳定性。无论系统有三条还是三条以上根轨迹，
总有一条根轨迹全部落在右半平面，系统总是不稳定的；尽管用一个零点与pl构成一对偶极子
也很难消除其对系统的影响。可以先看一下l*e316228t曲线。

l*e316228t的增长曲线如下：

2

确定控制环节的放大倍数k

因此设想对G(s)=s2_iooo加局部反馈校正以改变极点位置。

若反馈环节的传递函数为：as+b

则：

G©-25.

s2+25as+25b-1000/

可以写成：

G(s)-25k.
V7s(s2+(pl+p2)s+plp2Y

闭环传递函数为:
25kG(S)=
s(s2+(pl+p2)s+plp2)+25kh

偏差传递函数为:

))
E(s)=s(s2+(pl+p2)s+plp2s(s2+(pl+p2)s+plp2+25kl/

3

ess=lims*E(s)*R(s);
s->0
*丄.
ess1Hms2(s2+(pl+p2)s+plp2)
100s(s2+(pl+p2)s+plp2)+25klis2/
STO
essP1P2二1“
2500k/i—100/
25kh=plp2;

kh=—plp2=b-40

确定反馈环节参数a、b

单位阶跃响应的超调量不人于30%,过渡过程时间不人于1秒(A=2%)o

—3诞>4;«>0.36;(以二阶系统公式做计算)
Y>48。；o)c>8.9;(以高阶系统经验公式计算)
取：—u)n^=—6；§=0.5；

RootLocus

100

-5r

-100

-150
-200-150-100-50050100
RealAxis

考虑到根轨迹渐近线为、180°、-60°。应把更小的一个根放到足够小的位置,

以避免其根轨迹上的根影响主导极点，同时考虑幅角条件。

幅角条件^

180°-ZA+Z(A-pl)+Z(A-p2)=(