【全国百强校】重庆市南开中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷版）.doc

重庆南开中学高2025级高二（上）期中考试
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第I卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
1.直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2.若直线与互相垂直，则（）
A. B.6 C. D.
3.抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
4.若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C离心率为（）
A. B. C.或 D.或
5.若直线与相离，则点与圆的位置关系为（）
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆外 D.无法确定
6.设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）
A B. C. D.
7.若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（）
A B. C.7 D.10
8.椭圆与双曲线有相同焦点、，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列关系式一定正确的是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题、每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
9.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（）
A.椭圆的方程为 B.椭圆的离心率为
C. D.
10.已知圆，．则下列说法正确的是（）
A.当时，圆与圆有4条公切线
B.当时，是圆与圆的一条公切线
C.当时，圆与圆相交
D.当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（）
A.为线段的中点 B.点在直线上
C. D.
12.如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（）

A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应位置上．
13.已知双曲线，则的右焦点的坐标为________.
14.若为圆的弦的中点，则直线的方程为__________．
15.若P是椭圆上一动点，，则的最大值为__________．
16.设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
17.已知双曲线的方程是．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小．
18.已知圆．
（1）求实数的取值范围；
（2）若直线被圆C所截得的弦长为，求实数m的值．
19.已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
20.已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段中点．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程．
21.如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．
22.如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．

（1）若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值；
（2）求四边形面积的取值范围．