推理与证明、数系的扩充与复数的引入.ppt

第十四单元推理与证明、数系的扩充与复数的引入2.演绎推理
（1）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.分析归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.在数列{an}中，(n∈N*),试猜想这个
数列的通项公式.a+b=b+a,a+b=b+a,
（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);

（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有唯一解，x=-a与x=-a；

（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.
（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;
（2）平面内不共线的三个点确定一个圆；
（3）圆的周长和面积可求;
（4）在平面直角坐标系中,以点为圆心，r为半径的圆的方程为【例3】(12分)已知函数,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞)，
试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大
前提是增函数的定义，小前提分别是f(x)在（0,]上满足减函数的定义
和f(x)在[,+∞)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.易错警示11.观察下列等式:

由上面两式的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.解析由①②可看出,两角差为30°,则它们的相关形式的函数运算式的值

均为.

猜想:若β-α=30°,则β=30°+α,

也可直接写成

下面进行证明:

故12.用“三段论”的形式写出下列演绎推理.
（1）若两角是对顶角，则这两角相等，所以若两角不相等，则这两角不是对顶角.
（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等.
（3）0.332·是有理数.
（4）y=sinx（x∈R）是周期函数.（3）所有的循环小数都是有理数，（大前提）
0.332·是循环小数，（小前提）
0.332·是有理数.（结论）
（4）三角函数是周期函数，（大前提）
y=sinx是三角函数，（小前提）
y=sinx是周期函数.（结论）第二节直接证明与间接证明原命题不成立（2）分析法是，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.
3.间接证明
用反证法证明问题的一般步骤:
（1）：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）
（2）：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）
（3）：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)典例分析举一反三分析将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.即证a2＜ab+ac,b2＜bc+ba,c2＜ca+cb,
即a＜b+c,b＜a+c,c＜a+b,
它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.
故I2＜4S.证明：由sinα+cosα=1sin2α+cos2α+2sinα·cosα=1
sinα·cosα=0.①
欲证sin6α+cos6α=1,
只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1,
即证sin4α+cos4α-sin2αcos2α=1,
即证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,即证sin2αcos2α=0.
由①式知,上式成立，故原式成立.分析命题伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至多……”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.学后反思反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.分析证明函数是偶函数，关键是证明函数关于y轴对称，即对称轴是x=0.学后反思（1）本题证明的前半部分用的是分析法，要证结论成立，只需证明a=-b，后半部分用综合法证明了a=-b,这一例是典型的分析综合法证明.（2）在用分析综合法证明时，可先分析再综合，也可以先综合再分析.解析：（1）将(n≥2)代入
得
两边取倒数得(n≥2)，
∴=