积分等式,不等式证明中辅助函数的构造方法.pdf

2006年6月思茅师范高等专科学校学报Jun．2006

第22卷第3期JournalofSimaoTeache1"8’CollejVo1．22No．3

积分等式、不等式证明中辅助函数的构造方法

戴红兵
(思茅师范高等专科学校数学系，云南思茅665000)

【摘要】借助适"3-的辅助函数来证明积分等式、不等式是一种非常重要且行之有效的
方法。介绍某些积分等式、不等式中辅助函数的构造方法。
【关键词】积分等式；积分不等式；辅助函数；构造；变限法
【中图分类号]0122．3【文献标识码】A【文章编号】1008—8059(2006)03—0060—05

积分等式、不等式在微积分中占有十分重要方法
的地位，在近几年的考研数学中又频繁出现这类将积分不等式中，上限(或下限)及式中相同
命题。积分等式、不等式的证明往往需要借助恰的字母改成，移项使不等式一端为零，则另一端
当的辅助函数才能完成，然而，构造恰当的辅助函即为所作的辅助函数()。
数对一般的学生来说是有困难的。笔者在教学中1、设f()在[口，b]上连续，证明：
进行探索找到一些可行的方法，在此与大家交流。(』If())≤(b一口)』()。
1变限法中辅助函数构造方法分析：把上式中的b换成，移项，得：
变线法指将积分等式(或不等式)要证结论中(』t))一(一口)』(t)dt≤0。
的积分上限(或下限)中的或0及相同字母换令()=(』(t)at)一(一口)』(t)
成，移项使等式(或不等式)一端为0，则另一端用单调性证之。
的表达式设为()或()(在积分不等式中证：令()=(』(t)at)一(一口)·
设为’())。j：(t)dt

·‘
若在积分等式中含()，f()，』(t)dt．()=2』(t)·厂()一』主尸(t)一
的零点问题，其中f(t)连续，令f(t)dt=F()(一口)()

之后，成为()，F()，F()的零点问题。若=』22f(x)f(t)dt一』(t)dt一』()dt

()中不含F()，一般说来用介值定理；若=一』(t)一2f()f(t)+()]

()中含F()一般用罗尔定理或费马定理。=一』厂(t)一厂()]2dt≤0

-
若在积分不等式中将其转化为含()，．．()“”∈[口，b]
厂()，J(t)的等式，对()求导后，再判断又。．。(口)=0，．-．(b)≤(口)=0
其单调性，并找出(。)=0的点。(大多数情况故(』())≤(b一口)』()

是区间的某个端点)用单调性即可证明之。2、设．厂()在[0，1]上连续，证明：
(1)在积分不等式中，辅助函数()的构造(』())≤』()。

【收稿日期l2006—02—26
【作者简介l戴红兵(1966一)．男。湖南郝东人．思茅师范高等专科学校数学系讲师，主要从事高等数学教学。

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戴红兵：积分等式、不等式证明中辅助函数的构造方法

分析：在本题中，若把上限换成后，直接令将积分等式中的上限(或下限)及式中相同的
()=』，(t)出)一』(t)出是难于解下去字母改成，移项使等式的一端为零，则另一端即
的。倘若，将其与题1联系起来看，则发现本题是为()，设F()=』(t)dt，得
题1的特例，只需令题l中的b=1，口=0，即可得()：F()+P()F()一q()，
到本题的结论。然而，在此我们更关心的是本题即F()+P()F()一q()=0为一阶线
能否用题1的方法来求解呢?辅助函数如何构造性微分方程，
呢?联想题1中的辅助函数让F()：[』口()e』()如dx]e—j()如
()=』(t)clt)一(—a)2f(t)dt，于即F()eJ()如一』q()eJ()如dx=0
是，本题中的辅助函数应为()=』，(t)dt)由此，若要证明存在一点，使得

一』(t)，即只要把题1的()中的口换F()+P()F()=q()成立，只需构造
成0，就得到本题中的辅助函数()。函数
证：令()=(f，(t)dt)一』(t)dt，()=F()eJ()如一』q()eJ()如即
有(0)=0可。
西()=2f(t)dt·f(x)一』(t)出一()4、设Y=f()是区间[0，1]上的任一非负连

=一』烈，(t)一，()]出≤0续函数。①试证存在。∈(0，1)使得在区间
所以当≥0，()≤0，以=1代人[0，知]上以f(o)为高的矩形面积等于在区间
(1)≤1[，1]上以Y=f()为曲边梯形面积；②又设
即有(』()ax)≤』()。
，()在区间(0，1)内可导，且，，()>一，证
3、设f()在[0，+O0]上连续且单调增加，试
明①中的。是唯一的。
证明对任何b>口>0，皆有：
分析：①由题意，即要证存在∈(0，1)使
』)dx≥÷[b』obf(~)dx一口』，()dx]
n厂(o)一f(t