第2节矩阵的初等变换与逆矩阵的求法.ppt

1.2.1线性方程组的同解变换初等行变换
row例用矩阵的初等变换解线性方程组所以，方程组的解为1.2.3初等矩阵i(2)用不为零的数乘以E中的第i行，得到的矩阵记为Ri()；
用不为零的数乘以E中的第i列，得到的矩阵记为Ci()。(3)以数乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的矩阵记为Rij()；以数乘以E中的第j列加到第i列上去，得到的矩阵记为Cij()。初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证：例1计算下列初等矩阵与矩阵A=[aij]3n,A=[aij]32,B=[bij]33的乘积:用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。
初等矩阵的行列式都不等于零,因此初等矩阵都是可逆矩阵.由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵,即定理1.2有限个初等矩阵的乘积必可逆。定理1.4可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。有可逆性知b22,…,bn2中至少有一个不为零。（如果不是这样，则将B的第一列乘以（-b12）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以适当的系数，可以把第二行第二列的元素变为1。再将第二行乘以适当的数加到下面各行。得到矩阵：类似地可以证明，C33,…,Cn3中至少有一个不为零。并通过适当的行变换将第三行第三列的元素变为1，气候各行的元素全部变为零。
重复下去，最后可以将矩阵A变为上三角矩阵形式：将此上三角阵的第n行乘以适当参数，加到上面各行中，可以使第n列的非角元素全变为零：第n-1行乘以适当的数，加到上面各行中，可以使第n-1列的非对角元素全变为零；依此类推，最后可以得到单位阵。定理1.5方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。1.2.4用初等行变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵：
例1.7设A=

解
所以A－1=
例练一练