信号处理习题.doc

一、证明单位阶跃函数的傅里叶变换是
证明：
（1）令，
则
得
则的频谱
（2）因为
所以

二、若的傅里叶变换分别是，证明卷积的傅里叶变换是。
证明：

三、解差分方程(1)
(2)

解：
(1)特征方程为：
特征根：
则通解为：
则特解的形式为：
即
完全解为：
由边界条件得：
即
则完全解为：
(2)特征方程为：
特征根：
则通解为：
由边界条件得：
即
即通解为：

四、解差分方程(1)
(2)
解：
(1)特征方程为：
特征根：
则通解为：
由边界条件得：
即
即通解为：
(2)特征方程为：
特征根：
则通解为：
自由项为，且不是特征方程的根，则特解的形式为：
即
完全解为：
由边界条件得：
即
则完全解为：

五、已知的Z变换为，的Z变换为。
(1)证明的Z变换为，并由此结论求的Z变换
(2)证明的Z变换为
证明：
（1）因为，将上式两边对z求导：
交换求导与求和的次序，上式变为：

所以，即的Z变换为。
由此
(2)

即的Z变换为

六.已知的Z变换为，证明
(1)的Z变换为(2)的Z变换为
证明：
(1)

(2)

七、离散系统的差分方程为：

(1)求系统函数(2)讨论此因果系统的收敛域、稳定性
(3)求单位样值响应(4)求为单位阶跃序列时的零状态响应

解：
(1)方程取Z变换：

则：
(2)的两个极点为，它们都在单位圆内，此因果系统
的收敛域为，且包含点，是一个稳定的因果系统。
(3)将展成部分分式得：

取逆变换得单位样值响应为
(4)若激励，则
于是
将展成部分分式得
取逆变换得为

八.已知离散系统的差分方程为：

(1)求系统函数，并讨论此因果系统的稳定性

解：
方程两边取Z变换：

则：
的两个极点为，它们都在单位圆内，此因果系统
的收敛域为，且包含点，是一个稳定的因果系统。
(2)求为时系统的响应

解：
激励
则
于是
将展成部分分式得：

取逆变换得为

九.已知为周期函数，且。（10分）
(1)证明的傅氏变换是。
(2)给出的傅氏变换。
证明：

(1)因为
所以
展成傅里叶级数：
即
所以
(2)周期单位冲激序列，
系数
所以。