1复数及复变函数.ppt

CH1复数及复变函数1.复数的概念一般任意两个复数不能比较大小.定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)z1+z2=z2+z1；
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例11.代数形式1.代数形式（点表示）2.几何形式（向量表示）辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，当z落于一,四象限时，不变.o3.三角形式几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度
Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.设z=r(cosθ+isinθ)，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ).问题给定复数z，求所有的满足ωn=z的复数ω.当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，
而k取其它整数时，这些根又会重复出现.4.指数表示法注意：复数的各种表示法可以相互转化,以适应
不同问题的需要.此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程
（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方
程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.x例6
3.单连通域与多连通域1.区域的概念内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻
域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点.开集若G内的每一点都是
内点，则称G是开集.有界区域与无界区域
若存在R>0,对任意z∈D,均有
z∈G={z||z|<R}，则D是有界区域；否则无界.2.简单曲线（或Jardan曲线)重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，
对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，
称z(t1)为曲线C的重点.简单闭曲线的性质3.单连通域与多连通域例如|z|<R（R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的.§5复变函数1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似例12.映射的概念以下不再区分函数与映射（变换）.oo3.反函数或逆映射例5§6复变函数的极限与连续性(1)意义中的方式是任意的.
与一元实变函数相比较要求更高.2.运算性质定理2例13.函数的连续性例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)
仍为连续函数;
连续函数的复合函数仍为连续函数.本章作业球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.