第50讲 几何概型.doc

2013年高考第一轮复习资—理科数学

第50讲几何概型
【考点解读】
1.了解几何概型的特点，会进行简单的几何概型的运算，能运用模拟的方法估计概率；
2.会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型
【知识扫描】
1．几何概型的定义：对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而每一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域d中的点，这里的区域可以是线段、平面图形等，用这种方法处理随机试验，称为．
2.几何概型的概率计算公式：

古典概型与几何概型有什么区别？
古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.
【考计点拔】
牛刀小试：

1．如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，△MPN是正方形的一个内接正三角形，且MN∥AB，若向正方形内部随机投入一个质点，则质点恰好落在△MPN的概率为()
A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)
C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),4)
解析：选D.易知质点落在三角形MNP内的概率P＝eq\f(S△MNP,SABCD)＝eq\f(\f(\r(3),4),1)＝eq\f(\r(3),4).

2．如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为()
A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)
C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)
解析：选A.P＝eq\f(45,360)＝eq\f(1,8).

3．在区间[－1,1]上随机取一个数x，coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为()
A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,π)
C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)
解析：选A.在区间[－1,1]上随机取一个实数x，coseq\f(πx,2)的值位于[0,1]区间，若使coseq\f(πx,2)的值位于[0，eq\f(1,2)]区间，取到的实数x应在区间[－1，－eq\f(2,3)]∪[eq\f(2,3)，1]内，根据几何概型的计算公式可知P＝eq\f(2×\f(1,3),2)＝eq\f(1,3).

4．如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
【解析】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的
所以符合几何概型的条件。
设A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得
正方形面积为：25×25＝625
两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529
带形区域的面积为：625－529＝96
∴ P（A）＝

5．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f(1)>0成立的概率是________．
解析：f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，如图，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝eq\f(9,2)，P＝eq\f(S△ABC,S正方形)＝eq\f(\f(9,2),4×4)＝eq\f(9,32).
答案：eq\f(9,32)
【典例解析】
考点一：几何概型（长度）
【例1】点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为
【解析】如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是.
【规律小结】要合理的选择等可能的视角.[来源:Zxxk
【变式训练1】两根相距9m的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m的概率为________．
解析：灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ＝9m，记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A发生，即μA＝3m，
∴P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).
答案：eq\f(1,3)
考点二：几何概型（面积）
【例2】如图，边长为的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是
． ． ． ．
【解析】根据几何概型的计算公式，这个概率值是，选
【规律小结】一般地，求“几何概型”的概率时，第一步是根据题意恰当地设变量（一个，两个或三个）；第二步是找出问题中几何区域和事