七年级数学培优讲义 竞赛辅导 第5讲 质数与合数.rar

2用心爱心专心初一数学培优讲义第5讲质数与合数一、概念质数：一个大于1的整数a，如果只有1和a这两个约数，那么a就是质数，也叫做素数；如果除了1和a之外还有其他正约数，则a叫做合数。1既不是质数也不是合数。二、性质1、合数有无穷多个2、质数也有无穷多个证明：假设只有有限多个质数：，构造一个数是一个新的质数，若不然，N是一个合数，则N可以被中的某一个质数整除，而，因此1可被整除，矛盾！注：.叫做n的阶乘。这是一个存在性的证明,即人们知道质数有无穷多个,但至今为止,人们找到的质数还是有限个.现在人们正借助于网络计算机寻找越来越大的质数3、质数2是唯一的偶质数，也是最小的质数。解题中需要经常想到这一点。4、如果质数p|ab，则p|a，或p|b.但是如果P不是质数，一般不具有这个性质。例如6|4×9=36，但是6不能整除4或者9。1．试判别359是不是质数分析：若359有一个大于19的约数，则必有一个小于19的约数，因此只要对359逐个用不超过19的质数检验，看能否整除。2．求质数p,使得p+10和p+14都是质数分析：试验——猜想——证明，是创造性思维的一种方法。本题需要分类讨论。3．将1、2、…，2000这2000个数随意排成一行，得到一个数N，那么N是质数还是合数?分析：需要抓住一种不变性——不管数字次序如何，所有数字的和都是确定的，而这个和是3的倍数。4．已知3个不同的质数a,b,c满足那么a+b+c的值等于_____分析：本题用到质数2的特殊性，需要用到分解质因数。5．自然数n至少含有2个大于10的质因数，那么n的最小值是______.6．3599是质数还是合数？7．用1、2、3、4、5任意组成一个五位数，所得的数中有几个质数？8．p是质数。+2也是质数，则1997+________9．3个不同的质数m，n,p满足m+n=p，则mnp的最小值是_____10．已知三个质数m,n,p的乘积等于它们的和的5倍，则________11．2个质数的和为1995，则它们的积是_______12．a,b,c,d,e是5个质数，其中a<b,a<c,a<d,并且a+b+c+d=e,则a=_______13．已知正整数p,q都是质数，且7p+q与pq+11都是质数，试求p,q的值。14．(1)是否存在连续４个正整数，他们均为合数？若存在，求出其中一组最小值；若不存在，说明理由(2)写出10个连续的正整数，使其中每个都是合数15．某书店积存了若干画片，按照每张5角出售，无人购买，现决定按照成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，问一共有多少张画片？数学阅读——亲和数给定两个数m和n，若m除它本身外的所有因子之和等于n，而n除它本身外的所有因子之和等于m，我们就称m和n是一对亲和数，公元前6世纪的毕达哥拉斯最先发现了第一对亲和数220和284，因为220=1＋2＋4＋71＋142，284=1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110．亲和数之所以取此名，它象征着友谊，当别人问及毕达哥拉斯“朋友是什么”时，他答道：“是另一个我，可用亲和数表示．”发现第二对亲和数与第一对亲和数的间隔竞是那么长远！直到1636年，费马才发现了第二对亲和数17296和18416．阿拉伯数学家泰比特·伊本给出一个寻找亲和数的法则：n＞1，若a=3·2n－1，b=3·2n-1－1，c=9·22n-1－1全为素数，则2nab和2nc就是一对亲和数．如当n=2时就产生了220和284．第三对亲和数是笛卡尔于1638年提出的：9363584和9437056．1750年，欧拉提出了64对亲和数，后来人们验证有两对错了．1866年尼古拉发现1184和1210是一对亲和数，这是十分有趣的事情．人们从希腊时期就开始寻找亲和数，无数数学家为之花费了大量的精力和心血，并发现了大得多的亲和数，而这一对小亲和数直到此时才被发现，我们无不为尼古拉所做的巨大成就及付出的艰辛劳动所惊叹！现在人们已知道上千对亲和数，其中最大的一对是莱尔在1974年发现的两个152位数：m=34·5·11·528119·29·89(2·1291·528119－1)，n=34·5·11·528119(23·33·52·1291·528119－1)，随着计算工具和程序设计的不断发展和改进，人们必将发现越来越多的亲和数．