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透视投影矩阵推导（完整版）实用资料
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在上一篇文章中我们讨论了透视投影变换的原理，分析了OpenGL所使用的透视投影矩阵的生成方法。正如我们所说，不同的图形API因为左右手坐标系、行向量列向量矩阵以及变换范围等等的不同导致了矩阵的差异，可以有几十个不同的透视投影矩阵，但它们的原理大同小异。这次我们准备讨论一下Direct3D（以下简称D3D）以及J2ME平台上的JSR184（M3G）（以下简称M3G）的透视投影矩阵，主要出于以下几个目的：
（1）我们在写图形引擎的时候需要采用不同的图形API实现，当前主要是OpenGL和D3D。虽然二者的推导极为相似，但D3D的自身特点导致了一些地方仍然需要澄清。
（2）DirectXSDK的手册中有关于透视投影矩阵的一些说明，但并不详细，甚至有一些错误，从而使初学者理解起来变得困难，而这正是本文写作的目的。
（3）M3G是J2ME平台上的3D开发包，采用了OpenGL作为底层标准进行封装。它的透视投影矩阵使用OpenGL的环境但又进行了简化，值得一提。
本文努力让读者清楚地了解D3D与M3G透视投影矩阵的原理，从而能够知道它与OpenGL的一些差别，为构建跨API的图形引擎打好基础。需要指出的一点是为了完全理解本文的内容，请读者先理解上一篇文章《深入探索透视投影变换》的内容，因为OpenGL和它们的透视投影矩阵的原理非常相似，因此这里不会像上一篇文章从基础知识讲起，而是对比它们的差异来推导变换矩阵。我们开始！
OpenGL与D3D的基本差异
前面提到，不同API的基本差异导致了最终变换矩阵的不同，而导致OpenGL和D3D的透视投影矩阵不同的原因有以下几个：
（1）OpenGL默认使用右手坐标系，而D3D默认使用左手坐标系。

（2）OpenGL使用列向量矩阵乘法而D3D使用行向量矩阵乘法。

（3）OpenGL的CVV的Z范围是[-1,1]，D3D的CVV的Z范围是[0,1]。
以上这些差异导致了最终OpenGL和D3D的透视投影矩阵的不同。
D3D的透视投影矩阵推导
我们先来看最最基本的透视关系图（上一篇文章开始的时候使用的图）：

这里我们考察的是xz平面上的关系，yz平面上的关系同理。这里o是相机位置。np是近裁剪平面，也是投影平面，N是它到相机的距离。fp是远裁剪平面，F是它到相机的位置。p是需要投影的点，p’是投影之后的点。根据相似三角形定理，我们有

则有

注意到OpenGL使用右手坐标系，因此应该使用-N（请参考上一篇文章的这一步），而D3D使用左手坐标系，因此使用N，这是二者的不同点之一。这样，我们得到投影之后的点

第三个信息点是变换之后的z在投影平面上的位置，也就是N，它已经没用了，我们把p’写成

从而用第三个没用信息点它来存储z（如果读者对这一点不太了解，请参考上一篇文章）。接下来我们求出a和b，从而在z方向上构建CVV。请注意这里是OpenGL和D3D的另一个不同点，OpenGL的CVV的z范围是[-1,1]，而D3D的CVV的z范围是[0,1]。也就是说，D3D中在近裁剪平面上的点投影之后的点会处于CVV的z=0平面上，而在远裁剪平面上的点投影之后的点会在CVV的z=1平面上。这样我们的计算方程就是

从而我们得到了透视投影矩阵的第一个版本

即

这个时候第三个分量变换到CVV情形了，CVV的z范围是[0,1]。接下来根据上一篇文章所讲到的，我们要把前两个分量变成CVV情形，CVV的x和y范围是[-1,1]，如下图所示：

使用线性插值，我们有：

这里left和right是投影平面的左右范围，top和bottom是投影平面的上下范围。xcvv和ycvv是我们需要算出的在CVV情形中的x和y，也就是我们要计算出的结果。但在算出它们之前，我们先把上面的式子写成：

这里有一个需要注意的地方，如果投影平面在x方向上居中，则

那么第一个式子就可以销掉等号两边的1/2，写成

同理，如果投影平面在y方向上居中，则第二个式子可以写成

则我们现在分两种情况讨论：
（1）投影平面的中心和x-y平面的中心重合（在x和y方向上都居中）
（2）一般情况
我们分别讨论：
（1）特殊情况方程

这组是特殊情况，方程比较简单，但也是使用频率最高的方式（这是D3DXMatrixPerspectiveLH、D3DXMatrixPerspectiveRH、D3DXMatrixPerspectiveFovLH、D3DXMatrixPerspectiveFovRH四个方法所使用的情况）。我们导出它：

则我们反推出透视投影矩阵：

其中

而r-l和t-b可以分别看作是投影平面的宽w和高h。最后那个矩阵就是D3D的透视投影矩阵之一。另外呢，如