【优选】常微分方程数值解PPT文档.ppt

其中r为甲独立生存的增长率：a反映捕食者对食饵的捕食能力。d为乙无甲的死亡率；b反映食饵对捕食者的供养能力。初值为x（0）=x0y（0）=y0……（2）2；试用数值解讨论以下问题：[（1）无解析解]设r=1，d=0.5,a=0.1b=0.02,x0=25,y0=2求模型(1)在(2)下的数值解,画出函数x(t),y(t)图形以及相图(x,y),观察x(t),y(t)的周期变化,近似地确定争的周期和x,y的最大、小值,近似计算x,y在一周期内的平均值.与(掠俘问题讨论过的理论值)比较.3:导弹跟踪问题：某军的一导弹基地（位于坐标原点（0，0））发现基地正北方向120km处海面（位于坐标原点（0，120））上有敌舰一艘正以90km/h的速度向正东方向行驶，该基地立即发射导弹跟踪追击敌舰,导弹速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任意时刻都能对准敌舰，试问导弹在何时何处击中敌舰？（2）：建模：三:欧拉方法和龙格--库塔方法.常微分方程初值问题的提法是:设有一阶方程和初始条件:B:(6)式的计算：因为（6）式为隐式，无法用它直接计算yn+1:(6)式通常用迭代法计算即先由向前欧拉公式（5）产生初值:
d为乙无甲的死亡率；
A:引言：向前欧拉公式（5）计算简单，但精度只有1阶；
C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。
局部误差是假定前一步没有误差，这一步的近似值与精确值的差。
如果A:设一种单步法（14）具有局部误差精度为p阶；
B:(7)式也需要象向后欧拉公式一样进行迭代求yn+1；
ts=t0:k:tk;
再把它代入梯形公式（7）右端，作为校正，即：
D:缺点：需要迭代，计算量大。
如果A:设一种单步法（14）具有局部误差精度为p阶；
2:龙格--库塔方法:(1):思想:欧拉方法的基本思想用差商代替导数;由微分中值定理:
x0表示函数的初值；
C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。
（2）：如果yn有误差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的误差不超过n，则称该方法是稳定的。
（6）：用欧拉方法解微分方程组（和高阶微分方程）A:例掠俘问题的方程组；B：几何意义：C:误差估计：局部截断误差精度为2阶。
A:引言：向前欧拉公式（5）计算简单，但精度只有1阶；
（1）假设：在t时刻导弹位于P(x(t),y(t)),敌舰位于M(90t,H)(其中H=120)
得到数值解及图形和相图：
（1）不妨设a=b=0,否则可作代换
ts=t0:k:tk;
常微分方程初值问题的提法是:设有一阶方程和初始条件:
如果A:设一种单步法（14）具有局部误差精度为p阶；
（2）：如果yn有误差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的误差不超过n，则称该方法是稳定的。
gtext('x2(t)');
gtext('x1(t)');
梯形公式精度提高，但迭代太繁；
4阶龙格--库塔公式收敛；
C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。
B:先由向前欧拉公式（5）计算yn+1的预测值；
C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。
(5):龙格--库塔公式的MATLAB实现(MATLAB5.
当局部截断误差为0()时，我们称具有p阶精度。B:(6)式的计算：因为（6）式为隐式，无法用它直接计算yn+1:(6)式通常用迭代法计算即先由向前欧拉公式（5）产生初值:C:误差估计：局部截断误差精度为1阶。D:几何意义：（3）：梯形公式：A:方法：（4）：改进的欧拉公式：C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。（5）：实例：（6）：用欧拉方法解微分方程组（和高阶微分方程）A:例掠俘问题的方程组；B:例：2:龙格--库塔方法:(1):思想:欧拉方法的基本思想用差商代替导数;由微分中值定理:(2):2阶龙格--库塔公式:可以证明2阶龙格--库塔公式就是改进的欧拉公式.(4):龙格--库塔公式为也可以推广至解微分方程组和高阶方程.程序为：options=odeset(‘reltol’,rt,’abstol’,at)rt,at分别设定相对绝对误差；用于解n个未知函数的方程组时，m文件中的待解方程组应以X的向量形式给出，x0亦然。四：计算实际例：把模型（1）改写成矩阵形式1：对于给定数据r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x10=25,x20=2,t的终值经试验确定为15，以便于观察编制程序如下：得到数值解及图形和相图：五：任务：六：数值解的收敛性及稳定性：3：单步法的统一格式：证明：5：结论：6：稳定性：（1）：由于每一步均有舍入误差，希望这种误差不会传播；（2）：如果yn有误差n，而以